有限域上的置换多项式

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1、ADissertationSubmittedtoNanjingNormalUniversityfortheMasterofScienceinPureMathematicsPermutationPolynomialsoverFiniteFieldsAuthor：LvFang-Ni^●buperwsor：Subject：jiChun-GangPureMathematicsSchoolofMathemaficalSciencesNanjingNormalUniversity,Nanjing210023，PR．ChinaM

2、ay,2014学位论文独创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。学位论文作者签名：夥荔皖日期：砂依j、，‘学位论文使用授权声明研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属南京师范大学。学校有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以采

3、用影印、复印等手段保存、汇编本学位论文。学校可以向国家有关机关或机构送交论文的电子和纸质文档，允许论文被查阅和借阅。(保密论文在解密后遵守此规定)保密论文注释：本学位论文属于保密论文，密级：——保密期限为——．．．年。学位论文作者签名：日期：指剥撇：嵫岗日期：认，钣，彳娠小鼓以影沙摘要Abstract第一章引言第二章预备知识第三章主要结果的证明目录3．1有限域上形如Xr，(zK=a2)的置换多项式．．．．．．．．．．．．．．．．．93．2与两类函数有关的置换多项式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．123．

4、3形如(护。一z+6)5+己(z)的置换多项式．．．．．．．．．．．．．．．．163．4与linearized多项式有关的置换多项式．．．．．．．．．．．．．．．．．203．5与线性translator有关的置换多项式．．．．．．．．．．．．．．．．．．243．6与自同构群有关的置换多项式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．25参考文献致谢2933．_一U169摘要设P是素数，q是P的正整数次幂，n是正整数，FP是q”元有限域．有限域上任何一个到它自身的映射都可以用一个多项式来表示．如果多项式，@)∈Fq[

5、X1是一个从％到它自身的双射，那么称，(z)是Fq上的置换多项式．本文主要研究了有限域上的置换多项式构造．首先，介绍了与置换多项式有关的发展历史及应用，总结了置换多项式的判别方法，包括以下的判别准则(见IJidl的书(FiniteFields》，第394页)：定理1(Hermite准则)设K是一个q元的有限域，其中q是素数P的正整数次幂，则f(x)∈F。M是F。上的置换多项式当且仅当以下两个条件同时成立：(1)，(z)=0在Fq中只有一个根；(2)对任意的整数t，如果lStSq一2并且t≠0(modp)，那么(，(

6、z))。模(zq—z)的余式的次数≤q一2．本文在前人工作的基础上构造了几类特殊形式的置换多项式．比如：定理2设m，e都是正整数，P为素数且q=p。．令F(z)=三(z)+xh(T(x))∈F。k】，其中丁(z)是从F旷到％的满射并且满足：对任意的a∈F口，任意的X∈Fqm，有T(ax+Y)=aT(x)+F(可)，^(z)∈F口k】，L(x)=aox+n1扩+⋯+o。一ixp”1∈F口【叫．那么F(z)是F。。上的置换多项式当且仅当以下两个条件同时成立：(1)，(z)=L(x)+xh(x)是F。上的置换多项式；(2

7、)对任意的Y∈F口，z∈F口仇有F@)=L(x)+xh(y)=0与T@)=0同时成立当且仅当z=0．关键词：有限域j置换多项式；迹函数．AbstractLetFqnbeafinitefieldoforder矿，wheregisapowerofaprimenumberpand礼isapositiveintegenAswellknown,anymappingfromafinitefieldintoitselfisgivenbyapolynomial．Apolynomial／(x)∈吒Miscalledapermutat

8、ionpolynomialover％flitinducesabijectivemapfrom％toitself．Thepaperisdedicatedtotheconstructionsofpermutationpolynomialsoverfinitefields．Firstly,wegiveanintroductionaboutthedevelopmen