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1、湖南科技大学本科生毕业设计（论文）摘要本文主要以多项式环的运算性质为基础,讨论了多项式环的一些重要的性质.通过推广,得出了幂级数环的一些性质.关键字：环上一元多项式环；环上多元多项式环；幂级数环-21-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）ABSTRACTThisarticlemainlydiscussessomeimportantnatureofthepolynomialringthatisbasedontheoperationalpropertiesofit.Bymeansofgenerated,wecanobtaint
2、henatureofinfinitepolynomialwithcoefficientsinaring.Keywords：Polynomialwithcoefficientsinaringwithonevariable；Thepolynomialwithcoefficientsinaringwithvariables；Infinitepolynomialwithcoefficientsinaring-21-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）目录第一章引言1第二章一元多项式环32.1一元多项式环的定义32.2一元多项式环的
3、运算6第三章环上多项式的性质93.1环上的一元多项式的性质93.2环上多元多项式的性质123.3环上幂级数环的性质13第四章总结17参考文献19致谢21-21-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）第一章引言多项式是代数学中所研究的基本对象之一,它不但与高次方程的讨论有关,而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到.但我们一般对多项式的讨论,总是在一个预先定的数域作为前提.数学渐渐进步,我们发现可以对若干不是数的事物,用类似数的普通计算方法来加以计算,我们后来碰到的环就是其中一种.由此我们便可以把数域上的多项式推广到任
4、意环上的多项式,从而得到一类特殊的多项式——环上多项式.对环上多项式定义加法和乘法两种运算,由环定义,我们可以得到一类特殊的环——环上多项式.在抽象代数中,多项式环推广了初等数学中的多项式.一个环上的多项式环是由系数在中的多项式构成的环,其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义.在数域上,多项式在加法适合交换律、结合律,对乘法适合交换律、结合律和消去律,同时乘法对加法适合交换律.在环上,多项式对以上定理基本上成立,但乘法交换律和消去率在环上不成立.如果环是一个有单位的交换环,那么交换律在环上是成立的,可消去律是不成立的.幂
5、级数是多项式的延伸,是把多项式从有限项扩展到了无限项.环上多项式与数域上多项式存在许多相同和不同之处,同样,环上幂级数与数域上幂级数存在许多相同之处.在本文中,重点讨论了环上多项式的一些特殊的性质.-21-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-21-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）第二章一元多项式环2.1一元多项式环的定义定义2.1.1设是一个数域,是一个不定元.下面的形式表达式（其中属于,且仅有有限个不为0）称为数域上的一个不定元的一元多项式.数域上一个不定元的多项式的全体记作.下面定义内加法、乘法如下：加法设则定义为
6、和的和.乘法设令定义为和的乘积.容易验证,上面定义的加法、乘法满足如下运算法则：(1)加法有交换律：；(2)加法有结合律：；-21-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）(3)称为零多项式,满足；(4),都有逆元,使得；(5)乘法有交换律：；(6)乘法有结合律：；(7)称为（乘法的）幺元,使得有；(8)加法与乘法有分配律：；(9)乘法有消去律：如果且,那么.定义2.1.2连同上面定义的加法与乘法,称为数域上的一元多项式环.下面我们把数域上的多项式扩广到任意环上的多项式.设是一个含有单位元的可变换环.又设是的子环且,现考察中含
7、及任取一元素的最小子环：显然每个.定义2.1.3如上形式的每个元素都叫做上关于的一个多项式,而每个都叫做该多项式的系数.下面我们希望能将做成一个环.事实上(是的一个子环),定义规则如下:(当)-21-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）,必定假设.其中又可知确定是一个环.(是含和的最小的子环)定义2.1.4如果上方得到的环叫做上的的多项式环.显然是的一个子环,但中每个多项式的表达形式未必唯一.譬如,设,而.那么中的零元.的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:,但系数不全为零.这显然与高等代数中多项式的
8、零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对做如下的讨论.定义2.1.5设和如前所示,称为的一个未定元(超越元),若在中找不到不全为零的元素使(即).否则称为上的代数元.-21-湖南科技大学本科生毕业设计（论文）习惯上,记上的未定元为.有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式的其他运算问题.2.2一元多项式环的运算设是有
