数学学年论文毕业论文最小多项式性质、求法

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1、最小多项式的性质和求法摘要首先介绍方阵A的零化多项式，再介绍方阵A的垠小多项式。给出垠小多项式的有关性质，然后讨论最小多项式的儿种求法关键词方阵，零化多项式，最小多项式性质和方式本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C上的n阶方阵和多项式1.方阵的零化多项式/仇)成为A的零化多项式，也称/仇)使A零化定理1(哈密尔顿一凯莱定理)n阶方阵A的特征多项式/(A)=det(AE-A)=T-trAAn'1+....+(—1)"det4是A的零化多项式即/(4)=0证明省略(高等代数，北京大学出版社)从定理1

2、知，一个方阵至少右一个非零多项式使A零化。此外，使A零化的多项式不是唯一的。这是因为,如果/(A)=0,则对任意/'(A)对的倍式g(A)f(A),也有g(A)/(A)=g(A)*0=0,为了进一步研究矩阵A的零化多项式的性质，下面引进最小多项式的概念2•最小多项式及性质定义2在A的零化多项式中，次数最底首项系数为1的多项式称为A的最小多项式，记作必(2)最小多项式具有以下性质定理2设Awe”"，贝ij(1)A的任意零化多项式都能被^(2)整除(2)A的最小多项式是唯一的(3)相似矩阵有相同的最

3、小多项式证明：(1)设g(2)A的任一零化多项式，根据多项式理论可知g(2)=0A(Q)g(2)+厂(2)其中余式厂(刃的次数小于y/A(A)的次数若g(/l)不能被0卫)整除，即厂(刃工0,则r(2)=g(Q-q(2)0A(2)用A代替上式中的兄，得到r(A)=g(A)-q(AMA)=O即r(A)为矩阵A的零化多项式，且次数小于必⑷的次数，而这与乙⑷为A的最小多项式的假设矛盾，故r(A)=0.即g(/l)—定能y/A(/I)被整除(2)应用(1)的结果立即可得(3)B=P_1AP,则由P(B)

4、=P_P(A)P立即可得必(刃二炸仇)推论方阵A的最小多项式肖八(刃一定能整除其特征多项式f(A)=det(AE-A)3•下面4种方法(1)由特征多项式求最小多项式定理3心是A的特征多项式的零点的充要条件是心为A的最小多项式乙(刃的零点。证明:充分性,设人为A的最小多项式乙(刃零点，由于A的最小多项式^(2)整除A的特征多项式fW=AE-A,即乙⑷于"),从而心也是/(2)的零点。必耍性两种方法：法一(反证法)：设2。是方阵A的特征值，但它不是最小多项式加(刃的根,则(加(刃,A-20)=l

5、,则存在讥刃,v(A)使得臥伽⑷+v(A)(2-20)=l因此w(A)/n(A)+v(A)(A一/l0£)=E则v(A)(A-/L0E)=E,所以卜-血E

6、",此与人)为A的特征值相矛盾法二，设2。是A的特征值，且入对应的特征向量为Q,因为0=I//A(A)a=I//A(2())q,又a工0,,所以冇0a(人))二0,即人)是必(2)的零点o由定理3与定理2的推论立即可得推论若n阶方阵A的特征多项式能被分解为不同的一次因式方幕的乘积/(A)=(2_人)"(2-兄2严A(2-&严，其中&是4的相异

7、特征值，“是特征值人的重数,且N=弘那么A的最小多项式有如下形式：,=1与八刃二仇—人)4(2—«)心…仇—&产其中(21,2,…，s)为正整数定理3的推论实际上给出了由方阵的特征多项式求最小多项式的方法，下面距离加以说明P01、例1求矩阵010的最小多项式<10解；由矩阵的特征多项式/(/I)=

8、/IE-A

9、=(A+1)(/1-I)2,由定理3可知A的最小多项式有一下两种可能：(免+1)(2-1),(2+1)(2-1)2由于(A+E)(A-E)=0故A的最小多项式是x2-l(1)按最小多项式的

10、定义和存在性求最小多项式沱理4任意n阶矩阵A都存在最小多项式o证明：设AeCMXM为任一n阶矩阵，A可看作为中的一个向量组，由哈密尔顿一凯莱定理可知它们一定是线性和关的。令m为使矩阵序列E,A,AAA4KKAl(t

11、1,2,3KKah-1,贝ijA'”=2°E+人A+z^A'+KK+人一/'"“—如果定义的多项肖人亿)为屮A(2)=_2()_2］兄_免2兄2_A_人+2"那么一定有必⑷=0且没有次数小于0八几)的非零多项式使a零化，故肖八刃为A的最小多项式。这个定理的证明过程告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方式的步骤是:第一步：试解，A=2()E若能解出入则A的最小多项式为0八(几)=几-心若A=20E关于入无解，则做第二步：试解A2=20£+23若能解出入和入，则A的最小多项式为屮A(2)=:才—人）