保险费随机收取的风险模型

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1、第21卷第1期经济数学Vol.21No.12004年3月MATHEMATICSINECONOMICSMar.2004X保险费随机收取的风险模型杨善朝马羽中谭激扬(广西师范大学数学系,桂林,541004)摘要对保险费收取次数和每一保单收取的保险费均为随机变量的风险模型进行研究,证明了破产概率的一般公式和Lundberg不等式,并就指数分布情形给出破产概率的具体计算公式,这些结果较好地推广了文献[5-8]的结论L关键词风险模型,保险费随机收取,破产概率,Lundberg不等式风险模型理论,是保险精算数学中重要的研究内容,主要研究在有限时间内的破产概率、[1][2

2、]最终破产概率以及相关问题LLundberg和Gramer对破产概率给出了著名的Lundberg不[3,4]等式和Gramér2Lundberg近似公式,亦可见Bowers等的专著L周知,经典风险模型的盈余模型为U(t)=u+ct-S(t)其中u为时刻t=0时的初始盈余,c为单位时间内常数速率收取的保险费,Xi表示第i次理赔量(i=1,2,⋯),对时刻t≥0,N(t)表示在(0,t]时间内的总理赔次数,S(t)=X1+X2+⋯+XN(t)表示在(0,t]时间内的总理赔量Z在经典风险模型中,一个很重要的条件是假设保险公司在单位时间内保险费收取率c为常数,这一条

3、件与实际情况并不一致Z在实际中,不同单位时间收取的保险单数往往不一样,是一个随机变量,它服从某一离散分布Z另外,每一保险单收取的保险费也未必相同,同样是一个[5][6,7]随机变量Z王黎明,金珩,龚日朝,李凤军等对保险费收取次数为随机变量的风险模型做了研究,给出了破产概率公式和不等式Z当保险费收取次数和每一保单收取的保险费均为随机[8]变量时,邹辉,朱勇华对个另理赔量X和每保单收取费Y均服从指数分布的特殊情形证明了破产概率的不等式Z然而,指数分布仅仅是一个特殊分布,本文将在一般分布的条件下给出破产概率公式、Lundberg不等式,并就指数分布情形给出破产概率

4、的具体计算公式,这些结果较好地推广了文献[5-8]的结论Z1.模型与假设设Xi表示第i次理赔量(i=1,2,⋯),Yi表示第i张保单收取的保险费(i=1,2,⋯),M(t)表示保险公司在(0,t]时间内收取的保险单总数,N(t)表示在(0,t]时间内的总理赔次数,S(t)=X1+X2+⋯+XN(t)表示在(0,t]时间内的总理赔量,C(t)=Y1+Y2+⋯+YM(t)表示在(0,t]X国家自然科学资助基金项目(10161004),广西十百千人才工程专项基金项目L收稿日期:2002-12-01;修改稿:2003-12-15.—2—经济数学第21卷时间内收取的总

5、保险费,则盈余过程{U(t);t≥0}为U(t)=u+C(t)-S(t),(1.1)其中u为时刻t=0时的初始盈余Z对此模型定义破产发生时刻为T=inf{t:U(t)<0},(1.2)破产发生的概率为W(u)=P(T<∞ûU(0)=u).(1.3)为了理论上推导破产概率的计算公式,通常做如下基本假设:(1)个别理赔量序列{Xi:i≥1}是独立同分布的非负随机变量序列,其中X1与X同分布,2X的分布函数为F(x),L=E(X),L2=E(X);(2)个别保单保险费序列{Yi:i≥1}是独立同分布的非负随机变量序列,其中Y1与Y同分2布,Y的分布函数为G(x),

6、M=E(Y),M2=E(Y);(3)总理赔次数过程{N(t):t≥0}为参数K的Poisson过程,N(0)=0;(4)保险单总数过程{M(t):t≥0}为参数D的Poisson过程,M(0)=0;(5){Xi:i≥1},{Yi:i≥1},{N(t):t≥0},{M(t):t≥0}相互独立;(6)为了保证保险公司能稳定经营,假设单位时间内保险费收入大于理赔额,也就是E[C(t)]>E[S(t)],即DM>KL,(1.4)DM因此,安全负荷系数定义为H=-1>0.从而(1+H)KL=DM.实际中,单位时间内平均收取的KL保单数D远远大于单位时间内平均理赔次数K

7、,即DmK.(7)个别理赔X的矩母函数MX(r)在区间(-∞,C)内存在,其中C>0,且limr→CMX(r)=+∞.由以上假设容易知,过程{N(t):t≥0},{M(t):t≥0},{C(t):t≥0},{S(t):t≥0}和{U(t):t≥0}均具有平稳独立增量性,且E(C(t))=DtM,Var(C(t))=DtM2,(1.5)E(S(t))=KtL,Var(S(t))=KtL2,(1.6)rC(t)Dt(M(r)-1)rS(t)Kt(M(r)21)MC(r)=E(e)=eY,MS(r)=E(e)=eX,(1.7)其中MN(r)表示随机变量N或随机过程

8、N(t)的矩母函数Z2.破产概率定理1关于未知量r的