卡诺图化简逻辑函数

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1、数字电子技术课程研讨卡诺图化简逻辑函数的方法和理论依据14数字电子技术课程研讨摘要：从最小项的定义和性质入手，简述卡诺图化简逻辑函数的理论依据以及化简是否达到最简形式的判定标准。通过举例来解释利用卡诺图化简少变量逻辑函数的一般方法，以及卡诺图在数字电子技术中其他应用。另外介绍一种多变量逻辑函数的卡诺图解法。关键词：卡诺图；最小项；逻辑函数化简；多变量14数字电子技术课程研讨0引言在逻辑电路的分析和设计中，经常会遇到逻辑函数的化简问题。如果利用常规的公式法化简，除需要掌握大量的基本公式外，还需要能够灵活、交替地运用各种方法，方可求得最简结果，而且有时不易判断是否已简化到最简形式，技巧

2、性较强，对使用者的要求较高。当所需化简的逻辑函数输入变量较少时（一般不大于4个），利用科诺图化简法可以更简单、直接的得到逻辑函数的最简表达式。因此逻辑函数的卡诺图化简法在实际分析、设计电路时有很广泛的应用。1最小项定义及其性质1.1最小项的定义设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的“与”项中，每个变量以原变量或者反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个与项为最小项。对于n个变量来说，可有2n个最小项。任何一个逻辑函数均可表示成惟一的一组最小项之和，称它为标准的与或表达式，也称为最小项表达式。对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而变量的其他取值都使该最小项为0。事

3、实上，真值表的每一行对应着一个最小项。表（1）中列出了最小项取值为1时，各输入变量的取值。我们约定：将最小项为l时各输入变量的取值视为二进制，其对应的十进制i作为最小项的编号，并把该最小项记作mi。如A、B、C三个变量有2n=8个最小项，如表（1）所示。图（1）最小项最小项为1时变量的值i的值miABC14数字电子技术课程研讨ABC0000m0ABC0011m1ABC0102m2ABC0113m3ABC1004m4ABC1015m5ABC1106m6ABC1117m71.2最小项的性质最小项具有以下三个性质：(1)全体最小项之和为1；(2)任意两个最小项之积为0；(3)若两个最小项

4、之间只有一个变量不同，即在一个最小项中是原变量，在另一个最小项中是反变量，其余各变量均相同，则称这两个最小项是相邻项。两个相邻的最小项之和可以合并成一个与项，并消去一个因子。这一性质很重要，这正是用卡诺图化简逻辑函数的逻辑依据。如：ABC+ABC=（A+A）BC=BC。2卡诺图2.1卡诺图把真值表中的最小项重新排列，把它们排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的布尔变量按格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。14数字电子技术课程研讨卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。将一个逻辑函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内，此方格图即为卡诺图。卡诺图是一种平面方格图，每

5、个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。卡诺图的实质就是真值表的图形化，使得最小项排列得更紧凑，更便于化简。卡诺图中最小项的排列方案不是惟一的；变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量；各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。对应于一组n个逻辑变量，则函数共有2n个最小项。如果把每个最小项用一个小方格表示，再将这些小方格以格雷码顺序排列，就可以构成n个变量的卡诺图。下面两图展示了3输入变量和4输入变量的卡诺图表示：AB图（2）CD000111100026411375图（3）CD00011110000412801151391

6、137151110261410AB2.2卡诺图的特点14数字电子技术课程研讨卡诺图是逻辑函数的一种图形表示，卡诺图的图形特征表现出了它的特点。卡诺图的特点主要有以下三点：（1）卡诺图中的每个小方格对应一个最小项。（2）具有循环相邻的特性，即卡诺图中同一行里最左和最右端的小方格是相邻的，同一列里最上和最下端的小方格也是相邻的。（3）逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻，这个特性是由于我们对变量的排布采用的是格雷码。①每个2输入变量的最小项有两个最小项与它相邻；②每个3输入变量的最小项有三个最小项与它相邻；③每个4输入变量的最小项有四个最小项与它相邻。2.3卡诺图化简的基本原理用卡诺图化

7、简逻辑函数的基本原理就是把“相邻的最小项之和可以合并成一个与项，并消去因子”的逻辑依据和卡诺图的图形特征结合起来，通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。2.4卡诺图化简的性质（1）卡诺图上任何21标1的相邻最小项，可以合并为一个“与”项，并消去一个变量。（2）卡诺图上任何22标l的相邻最小项，可以合并为一个“与”项，并消去二个变量。（3）卡诺图上任何23标1的相邻最小项，可以合并为一个“与”项，并消去