华南农大高数第5章多元函数微积分

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1、多元函数的极值二重积分的概念多元函数的极值的概念定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)，如果都适合f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点(x0,y0)处有极小值。极大值、极小值统称为极值。使得函数取得极值的点称为极值点。极值是局部特性二元函数的极值图例有极小值有极大值在原点没有极值二元函数的极值图例极值存在的必要、充分条件极值存在的必要条件——各偏导存在的极值点

2、一定是驻点。驻点——使各偏导数均为零的点。极值存在的充分条件——（以二元函数为例）设函数在点的某个邻域内连续且有直到二阶的连续偏导数，又是驻点，令则：（1）当AC-B2>0时，函数取到极值，且当A>0时取极小值，当A<0时取极大值。（2）当AC-B2<0时，函数取不到极值。（3）当AC-B2=0时，函数可能取到也可能取不到极值。例1求函数的极值。解：解方程组得驻点：求出二阶偏导：在点处，又所以是极小值。在点处，所以函数在该点没在极值。在点处，所以函数在该点没在极值。在点处，又所以是极大值。最大最小值问题若函数在某区

3、域D上有最值，那么最值一定是在极值点或边界上取得。在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域D内部取到最值，而函数在D内又只有唯一的驻点，则可判定函数在该驻点即取得最值。例2要做一个容积等于K的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小？解设长方体的长宽高分别为x,y,z解方程组：得：从而由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：则xyz=K以上问题可以看成是表面积在条件下的极值（最值）问题——条件极值。求条件极值的拉格朗日乘数法：例如：求函数满足条件的极值。作函数：其中是常数，称为拉格朗日乘数。

4、（拉格朗日函数）解方程组：所得点是可能的极值点。例2要做一个容积等于K的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小？解表面积得：由问题的实际意义知，这时表面积获得最小值：约束条件：令：解方程组：例3从斜边长为4的所有直角三角形中求面积最大者。4解：三角形面积约束条件：令解方程组得由问题的实际意义知，这时三角形的面积获最大值：例3从斜边长为4的所有直角三角形中求面积最大者。4解：三角形面积约束条件：可将约束条件代入把问题化为求一元函数无条件极值的问题。令得：条件极值可转化成无条件极值二重积分的引入——

5、曲顶柱体的体积（演示）.求曲顶柱体的体积记用平顶柱体体积作近似替换（1）细分（2）近似替换（3）作和（4）取极限设平面薄片的面密度是：求平面薄片的质量D记二重积分的引入——平面薄片的质量二重积分的概念设函数是有界闭区域D上的有界函数。将闭区域D任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域，同时也表示它的面积。在每个小闭区域上任取一点令若无论D如何划分和如何选取，都存在，则称此极限为函数在D上的二重积分，记作：由于二重积分值与分割无关，故在直角坐标系下，通常用平行于坐标轴的直线网分割区域D，从而有即二重积分的概念所以在直角

6、坐标系下，二重积分常表示为引例中的曲顶柱体体积可用二重积分表示为平面薄片的质量为二重积分的性质是常数。（D的面积）二重积分可计算平面图形的面积其中：、是的一个完全分割。二重积分的性质使积分中值定理（定性研究）二重积分的估值二重积分的比较oyxzab二重积分的计算——化二重积分为二次积分预备知识：平行截面面积以知的立体体积的计算（演示）A(x)x如右图所示立体：介于平面x=a与x=b之间在区间[a,b]内任取一点x，过该点作x轴的垂直平面，若该平面的面积为A(x)，则由定积分的元素法可知立体体积为如果积分区域D可表示

7、为：aby=y2(x)y=y1(x)oxyХ-型区域用平行于yoz面的平面去截立体，则截面面积为：于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分如果积分区域D可表示为：у-型区域用平行于xoz面的平面去截立体，则截面面积为：于是，立体体积为直角坐标系下化二重积分为二次积分oxcdyx=φ2(y)x=φ1(y)直角坐标系下交换二次积分的积分次序如果积分区域D既可表示为Х-型区域：又可表示为у-型区域：则有如下交换积分次序公式：у-型区域Х-型区域例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）由围成。或记为故或记为解D可表

8、示为：D又可表示为：o44xy=xy2=4xyxy例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）或或记为或记为oxy-rrx2+y2=r2例4化下列二重积分为二次积分（两种次序）由围成。或或记为或记为补充题1、求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值。2、求二元函数f(x,y)=x2y(4-x-y)在直线x+y=6，x轴