华南农大高数第2章_中值定理及导数的应用

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1、第四节导数的应用函数的单调性的判别学习重点函数极值及最值的确定方法曲线凹凸向的判别及拐点的确定◆函数的单调性yxoabyoabx函数单调递增，则函数单调递减，则由Lagrange中值定理：于是有函数单调性的判别定理◆函数单调性的判别定理（1）如果函数在内有，则函数在上是单调递增的。（2）如果函数在内有，则函数在上是单调递减的。例1判别函数的单调性。解因为所以，函数在内是单调递增的。设函数在上连续，在内可导，则例2求函数的单调区间解因为令得驻点列表讨论+0_0+3-1所以，函数在及内单调增加，在内单调减少。例3求函数的单调区间解因为当时，不存在当时，，当时，所以，函数在

2、内单调增加，在内单调减少。小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在的点可将单调区间分开。例4求函数的单调区间解因为令得驻点当时，不存在列表：>0<0>0>0所以，函数在及内单调递增，在内单调递减。续例4：小结：求函数的单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。例5证明不等式证明令则所以，当时，不等式成立。◆函数的极值极值的概念：如果函数在点的某邻域内有定义，对于该邻域内任意异于点的，都有，则称为函数的一个极小值；如果有，则

3、称为函数的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为函数的极值点。由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称之为函数的极大、极小值。例如-13函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性（1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；如函数Y=x在区间[1，2]内既无极大值，也无极小值。（2）可以缺少其一；如y=x2在区间[-1，2]内，只有极小值。（3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；（4）极值一定在区间内部取得。◆函数的极值说明◆极值存在的必要条件（费马定

4、理）如果函数在点处可导，且在点处有极值，则导数为零的点称为函数的驻点。函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。函数的极值点是驻点或导数不存在的点。费马定理的逆定理不成立。◆极值存在的第一充分条件设函数在点的某个邻域内可导（点可除外）则在点处取得极大值；则在点处取得极小值；则在点处无极值；例1求函数的极值解因为令得驻点列表讨论+极小值极大值0_0+3-1所以，函数有极大值，有极小值。一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。例2求函数的极值解因为当时，不存在当时，，当时，小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能是函数的极值点，必须按第一充分条

5、件进行判别。所以，函数有极小值。例3求函数的极值解因为所以，函数无极值。（虽然有）↗极小值-1/2↘极大值0↗+0_不存在+(1,+∞)1(0,1)0(-∞,0)单调增区间为(-∞,0)和(1,+∞)单调减区间为(0,1)f(0)=0为极大值；f(1)=-1/2为极小值o1练习解◆极值存在的第二充分条件例4求函数的极值解因为所以，函数有驻点而所以所以，函数有极大值，有极小值。注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必须用第一充分条件判别。◆函数的最大值与最小值由极小值的特性，可知：极小值最小值；极大值最大值已

6、有结论：如果函数在[a,b]上连续，则函数在该区间上一定有最大值和最小值。求函数最值的一般步骤与方法（1）求函数的导数；（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。例5求函数在上的最值。解因为令得而所以函数在上的最大值是最小值是例6（应用题）某细菌群体的数量N(t)是由下列函数模型确定：其中t是时间，以周为单位。试问细菌的群体在多少周后数量最大，其最大数量的多少？解因为令得（舍去负值）由问题的实际意义，可知时，

7、细菌群体的数量最大，其数量为一般地，对于实际应用问题，如果可以判断目标函数的最值存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。例7某厂生产某种商品，某年销售量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件产品的库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完后立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费与库存费之和最小？解设总费用为y，共分x批生产，由题设可得函数关系令得唯一驻点由问题的实际意义，应分5批生产，可使两种费用之和最小。◆曲线的凹凸向及拐点yxoabyoabx定义如果曲线弧总位于它的