华南农大高数第2章_中值定理及导数的应用4new

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1、第四节导数的应用学习重点函数的单调性的判别函数极值及最值的确定方法曲线凹凸向的判别及拐点的确定◆函数的单调性yyfx()函数单调递增，则fx()12fx()0xx12o函数单调递减，则abxfx()fx()y120xx12由Lagrange中值定理：yfx()fx()fx()12f()oxxabx12介于与之间xx12于是有函数单调性的判别定理◆函数单调性的判别定理设函数fx()在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，则（1）如果函数fx()在(,)ab内有fx()0，则函数在[,]ab上是单调递增的。（2）如果函数

2、fx()在(,)ab内有fx()0，则函数在[,]ab上是单调递减的。例1判别函数yxarctan的单调性。1解因为yx20,(,)1x所以，函数在(,)内是单调递增的。32例2求函数y2x6x18x7的单调区间2解因为y6x12x186x3x1令y0得驻点x1orx312列表讨论x,1-11,333,y+0_0+y所以，函数在,1及3,内单调增加，在1,3内单调减少。32例3求函数yx的单调区间122解因为yx3333x

3、当x0时，y不存在当x0时，y0，当x0时，y0所以，函数在0,内单调增加，在,0内单调减少。小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在的点可将单调区间分开。2例4求函数y32xaaxa0的单调区间22ax3解因为y3322xaax2a令y0得驻点xa；当x,xa时，y不存在12332列表：aaa22ax,,,aa,2233y>0>0<0>0y续例4：2a所以，函数在,及a,内单调递增，在3

4、2a内单调递减。,a3小结：求函数的单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；（2）找出所有的驻点及一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。x例5证明不等式e1x(x0)x证明令fx()e1xx则fx()e1当x0时，fx()0,故函数在0,+内单调增加所以，x0,,有fx()f(0)0x即ex1当x0时，fx()0,故函数在-,0内单调递减所以，x，有0,fx()f(0)0x即ex1x所以

5、，当x0时，不等式ex1成立。◆函数的极值由于函数在不同的区间的单调性不同，因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数3值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称-1之为函数的极大、极小值。32例如y2x6x18x7极值的概念：如果函数fx()在点x的某邻域内有定义，对于0该邻域内任意异于x0点的x，都有fx()fx()0，则称fx()0为函数的一个极小值；如果有fx()fx()0，则称fx()0为函数的一个极大值。极大值和极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为函数的极值点。◆函数的极值说明函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性（1

6、）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；如函数Y=x在区间[1，2]内既无极大值，也无极小值。（2）可以缺少其一；如y=x2在区间[-1，2]内，只有极小值。（3）极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；（4）极值一定在区间内部取得。◆极值存在的必要条件（费马定理）如果函数yfx()在点x0处可导，且在点x0处有极值，则fx()0.0导数为零的点称为函数的驻点。函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。yEABD,,是极值点，导数为零DE是极值点，但导数不存在xCAC点导数为零，但不是极值点B函数的极值点是驻点或导数不存在的点。

7、费马定理的逆定理不成立。◆极值存在的第一充分条件设函数yfx()在点x0的某个邻域内可导（点x0可除外）y（）1xx00,xfx()0xxx00,fx()0xxxx000则yfx()在点x处取得极大值；0y（）2xx00,xfx()0xxx00,fx()0xxxx000则yfx()在点x处取得极小值；0y（）3xx00,xfx()同号xxx00,xxxxx000则yfx()在点0处无极值；32例1求函数y2x6x18x7的极值2解因为y

8、6x12x186x3x1令y0得驻点x1