华南农大高数第4章 积分应用1

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1、积分的应用不定积分的应用定积分的应用第四章微分方程不定积分的应用第一节学习重点微分方程的概念一阶微分方程的求解微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程。如：等……特点：和可以不出现，但的导数一定要出现。微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数。上面三个微分方程的阶数分别是二阶、一阶、三阶。微分方程的解：满足微分方程的函数。特解：满足微分方程且不含任意常数的函数。通解：满足阶微分方程且含个独立任意常数的函数。微分方程的概念课堂练习P1751及2题例：对微分方程：即：是它的解，且是通解。若给定条件：则可得特解：也是一特解，但不含

2、于通解中，特别地称为奇解。称为初始条件。微分方程的概念又如：对于微分方程容易验证都是微分方程的解。通解或特解？特解特解通解既非特解也非通解既非特解也非通解是的解。即是的解。例1.验证下列所给函数是所给微分方程的解：解解因为所以一.可分离变量的微分方程求解方法：两边同时积分理由：设是该微分方程的解，则一阶微分方程求解方法：两边积分特例：情形，即一.可分离变量的微分方程一阶微分方程两边积分，得因此，形如的微分方程的求解方法是：两边直接积分，得解为解原方程可变形为（分离变量）例2.求下列微分方程的通解或特解：两边积分，得所以，原方程的通解为（隐

3、函数形式）解原方程可变形为（注是一奇解）例2.求下列微分方程的通解或特解：即两边积分，得所以，原方程的通解为解原方程可变形为例2.求下列微分方程的通解或特解：两边积分得即得所以，原方程的通解为解将初始条件代入，得特解：例2.求下列微分方程的通解或特解：原方程可变形为两边积分（课堂练习）且线段PQ被Y轴平分，曲线过点求该曲线方程。解：由题设及导数的几何意义，得微分方程：由曲线过点得所求曲线方程：（这是一个多值函数）或上任一点P处的法线与X轴有交点Q，例3.设曲线若，则称（1）为齐次的。若，则称（1）为非齐次的。可将其改写成对一阶线性齐次微分

4、方程这是一个可分离变量的微分方程。这是（2）的通解。（这里表示某一确定的原函数，不带任意常数。）二.一阶线性微分方程一阶微分方程（2）的通解是：猜想（1）的解是：则将代入（1），得即这种方法称作常数变易法。比较方程（1）、（2）：故（1）的通解是：比较方程（1）、（2）：（2）的通解是：（1）的通解是：非齐次线性微分方程的通解=非齐次的特解+对应齐次的通解——线性微分方程解的结构，称为叠加原理。解这是一个一阶线性微分方程，方程的通解为例4求解下列微分方程通解公式（1）解原方程的通解为例4（2）凑微分解：将原方程化为例4则方程的通解为（课堂

5、练习）解：将原方程化为例4.变通公式原方程的通解为解：原方程可化为例4（5）公式的变通：如果微分方程为则方程的通解为则方程的通解为（课堂练习）型可降解的高阶微分方程求解方法：连续积分n次。例5（1）求解微分方程解由原方程积分得：再积分得再积分得再积分得所以，原方程的通解为过点例5（2）设曲线满足，且在此点与直线相切，试求该曲线的方程。解由题设可知：可得即：再由：得故所求曲线方程为由原方程积分得因为解：令则原方程变为即：的通解。例5（3）求微分方程再见！