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时间:2019-06-26
《2019高考数学考点突破——立体几何初步:直线、平面平行的判定及其性质学案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、直线、平面平行的判定及其性质【考点梳理】1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α=∅a⊂α,b⊄α,a∥ba∥αa∥α,a⊂β,α∩β=b结论a∥αb∥αa∩α=∅a∥b2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件α∩β=∅a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥αα∥β,α∩γ=a,β∩γ=bα∥β,a⊂β,结论α∥βα∥βa∥ba∥α3.与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α,b⊥α⇒a∥b.(2)a⊥α,a⊥β⇒α∥β.【考点突破】考点一、与线、面平行相关命题真假的判断【例1】已知m,n是两条不同的直线
2、,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.m∥α,n∥α,则m∥nB.m∥n,m∥α,则n∥αC.m⊥α,m⊥β,则α∥βD.α⊥γ,β⊥γ,则α∥β7[答案]C[解析]A中,m与n平行、相交或异面,A不正确;B中,n∥α或n⊂α,B不正确;根据线面垂直的性质,C正确;D中,α∥β或α与β相交于一条直线,D错误.【类题通法】1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.2.(
3、1)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情形,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.【对点训练】若m,n表示不同的直线,α,β表示不同的平面,则下列结论中正确的是( )A.若m∥α,m∥n,则n∥αB.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥βC.若α⊥β,m∥α,n∥β,则m∥nD.若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则n∥β[答案]D[解析]在A中,若m∥α,m∥n,则n∥α或n⊂α,故A错误.在B中,若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α与β相交或平行,故
4、B错误.在C中,若α⊥β,m∥α,n∥β,则m与n相交、平行或异面,故C错误.在D中,若α∥β,m∥α,n∥m,n⊄β,则由线面平行的判定定理得n∥β,故D正确.考点二、直线与平面平行的判定与性质【例2】如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.[解析](1)由已知得AM=AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,7由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2
5、.又AD∥BC,故TN綉AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.如图,取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=×S△BCM×=.【类题通法】1.判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用反证法(线面平行的定义);(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂
6、α,a∥b⇒a∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a⊂α⇒a∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).2.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.【对点训练】如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥PABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.[解析](1)设BD与AC的交点为O,连接EO.7因为四边形A
7、BCD为矩形,所以O为BD的中点,又E为PD的中点,所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)由V=PA·AB·AD=AB,又V=,可得AB=.作AH⊥PB交PB于点H.由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH,故AH⊥平面PBC.在Rt△PAB中,由勾股定理可得PB=,所以AH==.所以A到平面PBC的距离为.考点三、平面与平面平行的判定与性质【例3】如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面;(
8、2)平面EFA1∥平面BCHG.[解析](1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,∴GH是△A1B1C1的中位线,GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.7(2)在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC.∵
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