2019届高考数学难点突破--立体几何初步：直线、平面垂直的判定及其性质

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1、★精品文档★2019届高考数学难点突破--立体几何初步：直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质【考点梳理】1．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1)平面的一条

2、斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.3．二面角的有关概念2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创12/12★精品文档★(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定

3、理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α【考点突破】考点一、线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P－ABcD中，PA⊥底面ABcD，AB⊥AD，Ac⊥cD，∠ABc＝60°，PA＝AB＝Bc，E是Pc的中点.证明：(1)cD⊥AE；2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创12/12★精品文档★(2)PD⊥平面ABE.[解析](1)在四棱锥P－ABcD中，∵PA⊥底面AB

4、cD，cD⊂平面ABcD，∴PA⊥cD，又∵Ac⊥cD，且PA∩Ac＝A，∴cD⊥平面PAc.而AE⊂平面PAc，∴cD⊥AE.(2)由PA＝AB＝Bc，∠ABc＝60°，可得Ac＝PA.∵E是Pc的中点，∴AE⊥Pc.由(1)知AE⊥cD，且Pc∩cD＝c，∴AE⊥平面PcD.而PD⊂平面PcD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABcD，AB⊂平面ABcD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.【类题通法】1．证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2

5、)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质．2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创12/12★精品文档★2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．【对点训练】如图，在三棱锥ABcD中，AB⊥平面BcD，cD⊥BD.(1)求证：cD⊥平面ABD；(2)若AB＝BD＝cD＝1，为AD中点，求三棱锥ABc的体积．[解析](1)因为AB⊥平面BcD，cD⊂平面BcD，所以AB⊥cD.又

6、因为cD⊥BD，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，所以cD⊥平面ABD.(2)由AB⊥平面BcD，得AB⊥BD.又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝12×12＝12.因为是AD的中点，所以S△AB＝12S△ABD＝14.根据(1)知，cD⊥平面ABD，则三棱锥cAB的高h＝cD＝1，故VABc＝VcAB＝13S△AB•h＝112.考点二、面面垂直的判定与性质【例2】如图，四边形ABcD为菱形，G为Ac与BD的交点，BE⊥平面ABcD.(1)证明：平面AEc⊥平面BED；2016全新精品资料-全新公文范文-全程指导写作–独家原创12/12★精品文

7、档★(2)若∠ABc＝120°，AE⊥Ec，三棱锥EAcD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．[解析](1)因为四边形ABcD为菱形，所以Ac⊥BD.因为BE⊥平面ABcD，所以Ac⊥BE.故Ac⊥平面BED.又Ac⊂平面AEc，所以平面AEc⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABcD中，由∠ABc＝120°，可得AG＝Gc＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥Ec，所以在Rt△AEc中，可得EG＝32x.由BE⊥平面ABcD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝22x.由已知得，三棱锥EAcD的体积V三棱锥EAcD＝13×12•Ac•GD•BE＝624x3＝

8、63，故x＝2.从而可得AE＝Ec＝E