直线平面垂直的判定及其性质

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1、第5讲　直线、平面垂直的判定及其性质【2014年高考会这样考】1．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力．2．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题．考点梳理(1)定义：若直线l与平面α内的_____一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条_____直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥

2、a，l⊥b，a∩b＝P⇒________.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____．即：a⊥α，b⊥α⇒_____.1．直线与平面垂直任意相交l⊥α平行a∥b(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒___________.(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____的直线与另一个平面_____．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒________.2．平面与

3、平面垂直垂线α⊥β垂直a⊥β交线一个转化垂直问题的转化关系【助学·微博】四种方法证明线面垂直的方法：判定定理、平行线垂直平面的传递性(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)、面面垂直的性质定理、面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．A．α⊥β⇒l⊥mB．α⊥β⇒l∥mC．l⊥m⇒α∥βD．l∥m⇒α⊥β解析由l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又m∥β，∴m一定平行于β内的一条直线b.∴b⊥α，∴α⊥β.答案D考点自测1．已知直线l⊥α，直线m∥β，下列命题中正确的是()．①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥

4、β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中真命题的是()．A．①③B．①④C．②③D．②④解析①中，由n∥β，α∥β得n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，故①正确；②中，可能n⊂β，故②错误；③中，直线n可能与平面β斜交或平行，也可能在平面β内，故③错；④中，由m∥n，m⊥α，可得n⊥α，又α∥β可得n⊥β，故④正确．答案B2．m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题：A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析若α⊥β，

5、又α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，即不能推出α⊥β.答案A3．(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()．A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂

6、直答案B解析由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案45.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．考向一　直线与平面垂直的判定与性质[审题视点](1)由PH⊥AD及AB⊥平面PAD可证；(2)以AD为△BCF的高，而点E到平面BCF的距离可借助PH垂直底面ABCD求得；(3)取PA的中点M，可证DM綉FE，且DM⊥平面PAB，从而得证．(1)证明因为AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.又AB∩AD＝A，AB，

7、AD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直．推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件．三角形全等、等腰梯形底边上的中线、高、勾股定理等都是找线线垂直的方法．【训练1】如图，已知BD⊥平面ABC，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD.证明∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.又∵AC＝BC，N是AB的中点．∴CN⊥AB.又∵BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴CN⊥AD.【例

8、2】►如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考向二　平面与平面垂直的判定与性质[审题视点]考虑先证明直线BM⊥平面A1B1M，则由面面垂直的判定定理可得平面ABM⊥A1B1M.证明面面垂直的方法有：一是定义法，即证明两个平面的二面角为直二面角；二是用判定定理，即证明一