元素在某区间上的实对称矩阵谱跨度

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1、学位论文独创性声明本人所里交的学位论文足我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确况明并表示谢意。作者签名：邯甄1罕日期；≯H6．6．6学位论文授权使用声明本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要

2、汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。日期：J一6．‘．6学位论文作者签名：删j翥军日期：之。口‘．‘．(导师签名：／复≮R第一章介绍记厶表示n×n维的全l矩阵，＆【。，6】表示矩阵元素定义在【n，6】上的n×n实对称矩阵集合。对任意的n×n实对称矩阵A，我们总是以降序A1(^)≥⋯≥k(A)来表示A的特征值，而相应的A的谱跨度定义为：s(A)=A1(A)一^。(A)。谱跨度在组合优化问题【1l中有着广泛的应用。在本文中。我们主要研究，当且∈乳【n，bl时，s(A)的最大值以及相应的矩阵结构。引理1．1如A∈岛k6】，当且仅当A的元索取口或者b时，s(A)最大

3、。证明为叙述方便证明过程中，我们记九(A)为扎。对任意的z∈舻，我们记其分量为z1，⋯，z。。任给A∈乳陋，6】，设单位特征向量z，p∈搋n，使得Al=zrAz，A。=口T向a则s(A)=茁丁A。一矿A可=eT【』4。(嚣zT一Ⅳ掣T)】e，e=(1，·一，1)T．(1)注意到矩阵z，一Ⅳ矿的(t，j)位置元素即z‘q一*蛳。我们定义一个新矩阵A=(％)。如果观q一执鲫≥o，则峙=6；如果￡t％一玑珊

4、s(舢我们将在后文定理4．1中证明，如s(A)取到最大值，则对以上的矩阵z，一Ⅳ沪不会存在某一位置(t，J)，使得引q一玑蜥=o。因此晶[Ⅱ}卅矩阵类的最大谱跨度只能在菜些{a}b}．n阶实对称矩阵上取到。■这样，我们只需研究{a，b)一n阶实对称矩阵结构。因为s似)=s(一A)，A∈晶【n，6】，不妨令a2≤致口<6。进一步通过考虑6—1A，我们只需研究品．{Ⅱ，1)(一l≤o<1)矩阵类的最大谱跨度及其相应矩阵结构。引理1．2设。1，⋯，‰足任意的“个复数(n≥3)，且t兰1，记s2竹{圳五一吼M=∑⋯t=l(2)(3)则s≤2(M／2)1肛．(4)等号成立，当

5、且仅当存在鼽q∈{1⋯．，n}，p≠口，使得印+钓=o；并且若女≠p'口，则‰一o。证明从式(3)，我们可知l≈1≤M1／。。不妨假设I≈{=rMl／t，r∈【o，1卜那么如J≠《，我们可知l勺I茎M1／‘(1一r‘)1巾，1第一章：介绍华东师范大学硕士论文2进一步可得，I气一勺IsI‰I+l≈l≤肘1／fIr+(1一一)1／‘】(f≠J)．(5)当一={时，函数r—r+(1一一)1肛有最大值21—1肛(因为s(r)=r+(1一r。)1／。，当s7(r)=1一(1～一)1／“r“=o，即一={，r∈【o，1]中的唯一稳定点，且s(o)=1)。所以我们得到五一勺I≤2

6、(M／2)1止(1，J=1，⋯，n)，(6)不等式(4)显然成立。下面证明等号成立的充要条件。先证明必要性，从不等式(5)不难发现，不等式(6)取等号当且仅当‰，勺方向相反且模相等，即蚓=I≈l=(M／2)1小和or9≈=7r+nr蚴。根据吖的定义，得到魂+勺=o，‰一o，k≠f，J。允分性显然。-记a(∈)为(A一∈f)的奇异值。我们有以下引理。引理1．3设A为n×n的复矩阵∽≥3)且∈∈c，t≥1。那么跗脚拈静n证明注意到了：s(A)=s∽一f，)。由H．wjyl的定理f2∑A㈣≤∑一阳．(8)t=lizl显然，此引理是引理1．2的一个具体应用。定理1．4(Mi

7、rsky[3】)设A是n×n的复矩阵m≥2)，则跗，s肛雨．■(9)等号成立当且仅当^是正规矩阵，且其中的n～2个特征值彼此相等，等于其余两个特征值的代数平均值。证明因为芝_二口}(f)=亡r【(4一f，)4(A一∈，)】l=1=押(A4』一翻一∈A++I‘12J)=lIAIl}一÷『￡rAf2+训f一÷trAl2幢∈e)．显然，取f=j押A，∑冬la}(f)取到最小值。在不等式(7)中。取￡：2，f：：t，^我们得到不等式(9)。显然，当￡=2不等式(8)取等号的充要条件是A一∈，是正规阵。任何矩阵正规的充要条件是其酉相似于对角阵，因而A正规阵。根据不等式(4