域F_2cq_上广义R-S码的一类扩充码

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1、中山大学硕十学位论文第1章背景知识1．1数字通讯与纠错码通讯是由甲地的信息传送到乙地，通常把甲地叫信源，把乙地叫接收者。一个数字通信系统主要由信源、信道、信道编码器、信道译码器和接收者五个基本部分组成。实际上，我们又必须考虑到，信源发出的数字信息在传送的过程中可能会受到种种干扰，这样接收者接收到的数字信息就不再是信源发出的数字信息，即我们通常说的信息失真。为了使信息源发送的信息能准确地传给收信者，除采用技术上的种种措施外，还要采用抗干扰的编码方法，从而不但能检验出信息在传送中是否发生错误(检错码)，

2、而且能够对发现的错误加以纠正(纠错码)。这也就是说，在数字信息传送之前，先进行一次编码，再传送。考虑到实际的需要，我们往往对纠错码更感兴趣。数字信息经过信道编码之后具有以下性能：一旦由于干扰发生了传送错误，在允许的错误量范围之内，接收端可以检验出错误并能进行纠错。接收端的这一操作叫译码。译码后的数字信息传给接收者，完成整个传送过程。可以用框图表示如下：图1．1巾山大学硕十学位论文1．2码的定义及相关概念数字信息利用有限域，q上的七维向量：0。，a。，a：，．．⋯，口。)来表示。为了使通讯系统具有纠错

3、能力，我们增加向量的维数，使之变为n(，z，k)维向量(ao，ai，a2，．．⋯，a一，a一⋯⋯a)。也就是说，是建立向量空间n(F。)到向量空间n(F。)的一个一一映射，这里n陋。)={a。，口。，a：，．．⋯，a。)：口。EF。)。定义1．1一般地，设信息源的数字信息的集合是n陋。)，q是一个素数的幂，而，z是大于七的一个整数，设盯YT}叭Vk(F，)映入¨旧。)的一个一一映射口：Vt(F。)一V。(F。)(口o，al，a2，⋯⋯，a女一1)卜÷(口o，a1，a2，⋯．～，at一1，aI，⋯⋯，

4、a。)记c=盯(n(F，))，那么CCV。(F。)。V。(F。)的这个非空子集c叫做一个g元码，C中的向量叫做码字，甩叫做码长，而码字中的分量叫做码元，如果JcI=M我们称C是一个口元0，M)码。码率：一个q元(厅，M)码c的码率定义为R(c)：—log口—M。挖Hamming距离：设x，Y∈n(F4)，X和Y的Hamming距离dO，Y)定义为石和Y中不同分量的个数，简称距离。即设z=(舶，工：，．．．，x。)，Y=(Yl,y：，．．．，Y。)对于i=1,2，．．，rl，定义m彬沪{：!『麓‘咄=

5、Yi则d(Ⅵ)2善d(础)。Hamming重量：工∈y。(F，)，石中非零分量的个数称为Hamming重量，简中山大学硕士学位论文称重量，碳jW(x)。设x=(石，，z：，．，z。)，对于i；1,2，．．，门，定义毗，2口麓二0则∥@)=∑Ⅳ(溉)。码c中所有不为。的码字的重量的最小值，也即i=1min{W(x)：xEC，X≠0)叫做码c的最小重量。由距离和重量的定义我们不难看出对任意x，Y∈n(F。)，a(x，Y)=W(x—Y)。最小距离(minimumdistance)：设C是一个(肛，M)码，

6、码C的最小距离定义为c中任意两个不同的码字的距离的最小值，记为d(C1，即d(C)=rain似(x，y)：石，YEC，x≠y}a线性码：设c是码长为n的留元码，即CCV。(F。)，如果c是儿(F。)的子空间，我们就浣C是g元线性码。显然，q元线性码c的码率R(c)：生，最小距离等于其最小重量。我们用0，M，d)表示码长为n，码字个数为M，最小距离为d的码，用In，k，d]表示码长为,r／，维数为k，最小距离为d的线性码。无特别说明，本文所有的讨沦均是在线性码的范围内进行的，所有符号的含义参见文献【4

7、】。1．3有关译码和码的纠错性能的基础知识我们假设数字信息是在一个q元对称信道传送的，即(1)每个字符在传输过程中发生错误的概率相同，都为P。(2)如果一个字符在传输过程中发生了错误，则它错为其它q一1个字符中的任意一个的概率是相同的。rII山大学硕士学位沦文我们还要假设：收到一个字是从一个码字经错传较少的位数而来的可能性，比从一个码字经错传较多位数而来的可能性要大，即p‘=1。从直观上来理解，要求信道对数字信息的每一分量来既，正确传送的可能性比错误传送的可能性要大，这是合乎情理的，否则这个信道的可

8、靠性令人质疑，也就失去了使用的价值。有了以上两个假设作为前提，通常译码采取的方法是极大似然译码(maximallikelihooddecoding)：设码字石经信道传送后，我们收到向量Y，由于干扰因素的影响，可能石一Y，更甚者Y可能不是一个码字，此时，我们将y译为与Y的距离最小的码字x’。需要注意的是：这罩的x’并不一定就是x，也就是说采取这种策略并不总是译码正确。这就要求码字在传送过程中的出错位数必须在码C的纠错能力之内，否则就会出现译码错误。码的最小距离是刻画码的