域上矩阵广义逆的保持问题

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1、哈尔滨工程大学学位论文原创性声明本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者(签字)：』虱墨型坠日gl-yk／4

2、-黾诅Et日沙纷月“哈尔滨工程大学硕士学位论文1．1关于广义逆矩阵第1章绪论广义逆矩阵是上世纪矩阵理论的一项极为重要的新发展，广义逆的概念最早由Fr

3、edholm于19D8年提出的，他给出了Fredholm积分算子的广义逆，Murwitz于1912年利用有限维Fredholm积分算子的零空间给出了此类广义逆的一个简单的代数表征，Hiibert于1904年讨论广义Green函数时曾提出了微分算子的广义逆，之后许多学者研究了微分算子的广义逆，特别是Myller，Westfall，Reid等。逆矩阵的概念只是对非奇异矩阵才有意义。但是在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要考虑，可否将逆矩阵概念进一步推广为广义逆。为此，引进下列条件：(1)对于奇异矩阵甚至长方矩

4、阵都存在“广义逆”：(2)它具有通常逆矩阵的一些性质；(3)当矩阵非奇异时，它还原到通常的逆矩阵。1920年，E．H．Moore就提出了广义逆矩阵的概念。但在其后的30年，它的理论几乎未被注意。直到1955年R．Penrose以更明确的形式给出了Moore的广义逆矩阵的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期。近五十年来，广义逆矩阵在实际中得到了广泛的应用。它们在数值分析、数理统计、测量学和最优化等领域发挥着广泛的重要作用。在研究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，不适定问题，回归、分布估计、马尔可夫链等统计问题，无约束、约束、

5、随机规划问题，控制论和系统识别问题，网络问题等等中间，广义逆更是不可缺少的研究工具。对非奇异矩阵来说，不论什么研究目的，逆矩阵的定义是唯一的，而对广义逆矩阵来说，对不同的目的有不同的定义。因此，广义逆矩阵类型有很多，典型的有M—P逆，f1)一逆，Drazin逆，群逆，加权M—P逆，应用于电网络理论的限制广义逆Bott—Duffin逆以及广义的Bott—Duffin逆等。由于广义逆矩阵的特殊重要啥尔滨工程大学硕+学位论文性，多年来，人们一直对广义逆矩阵的研究充满了浓厚的兴趣，成果不断涌现，应用逐步深入。1．2“保持问题”的研究保持问题已成为国

6、际上矩阵论领域中的热门研究课题之一，保持问题是刻画矩阵空间映射保持不变量问题。它主要有：线性保持，加法保持等。经过一百年的发展，尤其是近三十年的研究，很多保持问题已被解决，同时，保持问题的类型和解决方法也十分丰富。近些年来，许多学者做了大量的研究工作，因此产生了大量关于保持问题的文献。其中主要研究的问题有：保谱，保秩，保秩一，保行列式，保伴随矩阵，保逆、广义逆，保数值函数，李代数保持问题，算子保持问题等。选择新的更加有意义、有背景的不变量，寻找各种不变量保持的内在联系，寻求更有效的一般化的处理方法以及特殊技巧等等都是尚待研究的课题。1．2．

7、1“线性保持问题”1．2．1．1“线性保持问题”研究的意义在过去一百年中，矩阵理论中活跃的分支之一就是线性保持问题。线性保持问题涉及的是保某一不变量的矩阵空间上的线性算子描述。研究各种不变量以及不变量保持的映射和变换历来是数学各学科领域关注的问题，这是因为这种问题常常有较强的实际背景，近三十年来，“线性保持问题”已成为矩阵论研究中一个十分活跃的领域。这一方面是因为它具有理论价值。首先，当我们考虑矩阵理论中一些基本问题的反问题时，很自然的会想到线性保持问题，例如，定义一个线性算子妒，妒∽)一^纠Ⅳ(或妒似)·心‘Ⅳ)，肘，Ⅳ为非奇异阵。显然妒

8、保秩。那么9是否是唯一的保秩的线性算子。再如，考虑线性算子妒，9似)一P4御，(或妒似)一P．1A‘P)，P为某一可逆阵。伊显然保特征值，行列式等等，那么保某一性质的妒是否具有形式妒∞)一P。艘或妒似)=P4A‘P。回答这些问题就不得不研究线性保持问题。另一方面，线性保持问题对简化一些其它数学问题也是一个有用的工具，哈尔滨工程大学硕士学位论文它在量子力学，微分几何，系统控制，数理统计等领域有着广泛的实际应用背景。在解答微分方程时，为了简化问题，人们在解决这个问题之前可能会对其应用某一变换，并且这个变换应该是最简单的并且拥有一些好的性质。例如

9、，我们可能想在一个线性微分方程组上使用一个线性变换，并希望它能保持这个方程组的特征值或稳定性，这自然就引出了线性保持问题。总之，线性保持问题具有很强的理论价值和实际应用背景。1．