有限域上的旋转对称函数与K-型高斯正规基

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1、四川师范大学学位论文独创性及使用授权声明本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师鏖登墓麴握指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定：学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有学位论文的部分使用权，即：1)已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版和电子版学位论文，可

2、以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检索；2)为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。●本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到《中国学位论文全文数据库》，并通过网络向社会公众提供信息服务。(保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：孝l硬签字日期力，7年j月77日导师签名签字日期易锄／年●／{{fj，JJf论文摘要：设F矿是g元有限域酩的扎(n>1)次扩张．本文用有限域上多项式的性质给出了F2上一类特殊的扎×扎对称循环矩阵的行列式计算公式，并由此得到了一类可逆

3、对称循环矩阵．进而，用初等的方法给出了Fqn在F口上的七一型高斯正规基Ⅳ的对偶基8．并得到了Ⅳ和B乘法表元素之间的对应关系．阵关键词：有限域，正规基．对偶基．k一型高斯正规基．旋转对称函数．对称循环矩第i页。：一，-、Rotation-SymmetricFunctionsandTypek-GaussianNormalBasesoverFiniteFieldsMaster：B0LiAbstract：AppliedNumberTheorySupervisor：QunyingLiaoLetFgnbetheextensionofqdementsfinitefieldF口withdeg

4、reen(n>1)．First，bypropertiesforpolynomialsoverfinitefields，thisthesisgiveaformulaforthedeterminantofatypeof佗×佗symmetriccirculantmatricesoverF2．AndSO，akindofnonsingularsymmetriccirculantmatricesareobtained．Secondly,thedualbasisBofthetype七一GaussiannormalbasisNofF矿overF口isobtainedbyusinganelem

5、entarymethod．Finally，wegetthecorrespondencebetweenmultiplicationtablesofNandB．Keywords：finitefield，normalbasis，dualbasis，typek-Gaussiannormalbasis，rotation-symmetricfunction，symmetriccirculantmatrix●，目录引言11预备知识41．1有限域的基本性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯41．2有限域上的正规基⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯41．3有限域上基的对偶基⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯81．4旋转对称布尔函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯112与旋转对称函数相关的正飙基的存在性122．1引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．122．2分情形讨论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．133有限域上}．型高斯正规基的对偶基及乘法表213．1引言番l丰要结粜⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯213．2丰要结果的证明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯223．3应用举例⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．25参考文献31致谢35攻读硕J二学位期间的研究成果36第iii页L引言19世纪初

7、，有一些数学问题困扰着当时的数学家们，高次方程的求解问题就是其中之一．法国数学家E．Galois在前人的研究基础之上提出了群的概念，并利用群论彻底解决了求解高次方程的问题，由此发展了一整套关于群和域的理论．为了纪念他，人们称之为Galois理论．此外，Galois还研究过所谓的Galois虚数．即有限域中的元素．因此，有限域又被称为Galois(仂I罗瓦)域。实际上，Galois理论中涉及的域就是Galois域．有限域不仅是近代数学的重要研究内容，对近代数学的发展产生了深远的影响．而且其优越的运算性质在