有限域上的K-型高斯正规模及Reed-Solomon码

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1、一————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————，-_四川师范大学学位论文独创性及使用授权声明本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师麈登墓熬援指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引起的学术声誉上的损失

2、由本人自负。‘本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定：学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有学位论文的部分使用权，即：1)已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检索；2)为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的掣位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。。●本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到《中国学位论文全文数据库》，并通过网络向社会公众提供信息服务。(保密的学位

3、论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名塘磋．签字日期：如f／年；月t7日警非哗湖．导期日．字签卜，&I，番盖墨龟氆，▲蓄毒．]lfI／煳嬲有限域上的尼一型高斯正规基及Reed-Solomon码应用数论研究生李俊指导教师廖群英(教授)论文摘要：本文给出了一般的k．型高斯正规基Ⅳ的对偶基以及当n≥k≥1时，Ⅳ的复杂度的一个上界．进而证明了当k=3时，此上界可达到，并由此给出了所有(弱)自对偶的扣型高斯正规基．最后，本文给出了有限域上对偶码也是Reed-Solomon码的广义Reed-Solomon码存在的一个充要条件：并由此

4、构造出一类满足此条件的广义Reed-Solomon码．关键词：有限域，高斯正规基，迹映射，对偶基，复杂度，Reed-Solomon码，自对偶码，本原元第i页秘IJ●可j’●l-TheType尼GaussianPeriodNormalBasisandtheReed．SolomonCodeoverFiniteFieldsAppliedNumberTheoryMaster：LiJunSupervisor：LiaoQunyingAbstract：Inthisthesis，forthegeneraltypekGaussiannorma

5、lbasisN，weobtainthedualbasisandallupperboundforthecomplexityofNwhenn≥k≥1．Furthermore，weprovethattheupperboundcanbeachievedfor七=3andthendetermineall(weekly)self-dualtypekGaussiannormalbases．Lastly,wegetanecessaryandsufficientconditionforthatthereexistsageneralizedRe

6、ed-SolomoncodewhichdualcodeisalsoaReed-Solomoncodeoverfinitefields．Furthermore，wecoIlstmctaclassofgeneralizedReed—Solomoncodeswiththeaboveproperty．Keywords：finitefield，Gaussianperiodnormalbasis，tracemapping，dualbasis，complexity,Reed-Solomoncode，self-dualcode，primit

7、iveelement●e第iii页引言有限域理论是现代代数的分支之一，其起源可追溯到17-18世纪．许多杰出的数学家(如Fermat，Euler和Lagrange等)对有限素域做了大量的研究工作，而一般的有限域的理论研究则是由Gauss和Galois开始的．近半个世纪以来，由于它在组合学、编码理论、密码学等诸多学科的研究中都起着广泛而重要的作用，从而倍受人们的关注，不断有大量新的研究成果分别从理论和应用的角度推动有限域的发展，可参阅专著f1—5】．随着因特网的普及和通信技术的飞速发展，信息安全也显得越来越重要．椭圆曲线密码体

8、制(EcC)是目前己知的公钥体制中加密强度最高的一种体制，尤其是基于正规基的椭圆曲线密码体制，在有限域上有快速的运算．所以对基于正规基的椭圆曲线密码体制的研究和实现具有重大意义．早在1888年，Hensel就注意到了用正规基表示有限域中元的优点『61．文f71中证明了有限域上正规基的存在性