高一数学成才函数的基本性质之函数的最值

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1、1．判断正误：(1)若函数f(x)在区间(a，b)和(c，d)上均为增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(c，d)上也是增函数．(2)若函数f(x)和g(x)在各自的定义域上均为增函数，则f(x)＋g(x)在它们定义域的交集(非空)上是增函数．[答案](1)×(2)√2．填空：(1)函数y＝

2、x

3、的单调增区间为．(2)函数y＝ax＋b(a≠0)的单调区间为；函数y＝(a2－1)x为减函数，则a的取值范围是．(3)函数y＝－x2＋bx＋c在(－∞，2]上为增函数，则b的取值范围是．[0，＋∞)

4、(－∞，＋∞)(－1,1)[4，＋∞)3．(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在常数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)M.②存在x0∈I，使f(x0)M.那么M是函数y＝f(x)的最大值．若M是函数y＝f(x)的最小值又如何填写条件？(2)函数y＝2x－1在[－2,3]上的最小值为，最大值为5.≤＝－5www.3edu.net完全免费,无需注册,天天更新！(4)函数y＝x2－2x－3在[－2,0]上的最小值为，最大值为；在[2,3]上的最小值为，最大值为；在[－1,2]上的

5、最小值为，最大值为－3－3－4500.本节重点：应用函数单调性求函数的单调区间，比较函数值的大小，求函数的最值(或值域)．本节难点：1.二次函数在闭区间上的最值讨论．2．复合函数的单调区间讨论．1．对于最大值定义的理解：(1)M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素．如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对(2)中“存在”一词的理解；(2)对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式；(3)这两条缺一不可，若只有(1)，M不是最大值，

6、如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值；否则大于零的任意实数都是最大值了；最大值的核心就是不等式f(x)≤M，故不能只有(2)．(4)若将(1)中的“f(x)≤M”改为“f(x)≥M”，则需将最大值定义中的“最大值”改为“最小值”．这就是函数f(x)的最小值的定义．2．一次函数f(x)＝ax＋b(a＞0)在闭区间[m，n]上必定有最大值和最小值，它只能是f(n)、f(m)，当a＜0时，最大值和最小值则为f(m)，f(n)．3．单调性是函数的重要性质，应用

7、它可以解决许多函数问题．如判断函数在给定区间上的单调性；求函数在给定区间上的最大值、最小值；求已知函数的单调区间；利用函数单调性比较两个数的大小等．4．复合函数的单调区间讨论．(1)单调性定义中x1，x2的三个特征：一是任意性，即“任意取x1，x2”，“任意”二字决不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属一个区间．三者缺一不可．(2)由增函数(或减函数)的定义可以得出(以增函数为例)：这两个结果对于读者深入理解单调函数及其性质是有益的．①可由函数

8、值大小比较自变量的大小．②可由自变量大小得出函数值的大小．5．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得．对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a＞0)在区间[m，n]上最值问题，有以下结论：①若h∈[m，n]，则ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}②若h∉[m，n]，则ymin＝min{f(m)，f(n)}，ymax＝max{f(m)，f(n)}(a＜0时可仿此讨论)．[例1]设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则(

9、)A．f(a)＜f(2a)B．f(a2)＜f(a)C．f(a2＋a)＜f(a)D．f(a2＋1)＜f(a)[分析]由减函数的定义可知，只须比较各组函数值的自变量的大小．∴a2＋1＞a又∵f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，∴f(a2＋1)＜f(a)成立，故选D.总结评述：(1)本题为选择题，故还可用排除法解之，如令a＝1，则有f(a)＞f(2a)，f(a2)＝f(a)，可排除A、B，令a＝0可排除C.(2)此类问题的解法依据是增函数、减函数的定义．即若f(x)在区间I上具有单调性，则欲比较f(x

10、2)与f(x1)的大小，(x1，x2∈I)，则只须比较x1与x2的大小．因此，比较两个实数大小时，我们可将这两个实数转化为同一函数在同一单调区间上的两个函数值，再利用单调性比较大小．若函数y＝f(x)在R上单调递增，且有f(a2)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1,0)[答案]B[例2]画出下列函数的图象，并指出函数的单调区间：[点评]1.一般地，①含绝对值的函数可以先去掉绝对值号化为分段函数再画图．应注意区分y＝

11、