函数的基本性质单调性最值

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1、函数的基本性质单调性最值（一）函数单调性的定义1.增函数与减函数一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，增函数：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数。减函数：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就说f（x）在区间D上是减函数。说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：不能说是原函数的单调递减区间；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2

2、；当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）。2.函数的单调性的定义如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间。例1观察下列函数的其图象，指出其单调性．（1）；（2）；例2指出下列常见函数的单调性：（1）（为常数）；【析】不随的增大而改变，无单调性．（2）（）；【析】，函数在上递增；，函数在上递减．（3）（）；【析】，函数在上递减，在上递增；8有志者，事竟成函数的基本性质单调性最值，函数在上递增，在上递减．（4）（）；，函数在上递减，在上递减；，函数在上递增，在上递增．（5

3、）；函数在上递减，在上递增．（6）．函数在上递增．3.判断函数单调性的方法和步骤（1）利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f（x1）－f（x2）；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。例题分析证明：函数在上是减函数。证明：设任意，∈（0，+∞）且，则，由，∈（0，+∞），得，又，得，∴，即所以，在上是减函数。练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数的单调性。

4、2．根据单调函数的定义，判断函数的单调性3．函数是单调函数时，的取值范围（）A．B．C．D．2．在区间上为增函数的是（）8有志者，事竟成函数的基本性质单调性最值A．B．C．D．6．函数在和都是增函数，若，且那么（）A．B．C．D．无法确定7．函数在区间是增函数，则的递增区间是（）A．B．C．D．8．函数在实数集上是增函数，则（）A．B．C．D．9．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（）A．B．C．D．（3）复合函数的单调性的判断：设，，，都是单调函数，则在上也是单调函数。①若是上的增函数，则与定义在上的函数的单调性相同。②若是上的减函数，则与定义在上的函数的单调性相同。即复合函数

5、的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）例6判断下列函数的单调性，并写出函数的单调区间．（1）；8有志者，事竟成函数的基本性质单调性最值【析】，其定义域为．令，则，列表如下：↗↘↗↗↘↗所以函数的单调增区间有和，无单调减区间．【注】求函数单调区间必须先求函数定义域．分式函数常采用部分分式法，使得自变量只出现在单个分母上．（2）；【析】，其定义域为．令，则，列表如下：↗↘↗↗↗↘所以函数的单调增区间为，单调减区间为．【注】当函数局部出现二次函数时，可以利用配方法确定确定对应二次函数的对称轴，

6、把定义域分成若干个区间讨论单调性．练习：（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间为．（2）的单调递增区间为3、函数单调性应注意的问题：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．8有志者，事竟成函数的基本性质单调性最值③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数例1.下列命题正确的是（）A.定义在上的函数，若存在，使得时，有，那么在上为增函数.B.定义在上的函数，若有无穷多对，使得时，有，

7、那么在上为增函数.C.若在区间上为减函数，在区间上也为减函数，那么在上也一定为减函数.D.若在区间上为增函数且（）,那么.思维分析：根据单调性定义逐一判断，特别注意定义中“任意”“都有”表达的含意.解：A错误，只是区间上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有，任意；C错误，例如函数在和上分别递减，但不能说在上递减；D正确，符合单调性的定义.故答案为D.方法点拨:函数单调性的定义是作此类题的依据.（5