对称自对偶色李代数

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2、报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布(包括刊登)论文的全部或部分内容。论文的公布(包括刊登)授权苏州大学学位办办理。研究生签名：S-枇日期：：!：!：兰导师签名：丝日期：丝l二蝉对称自对偶色李代数引言李群及其李代数，通常称之为李理论，从其产生至今有了非常巨大的发展，并日益显示出与理论物理，量子物理及统计力学等学科的深刻联系及广泛应用．因而，自二十世纪以来，已成为

3、当代数学中不可或缺的重要分支之●_--一●十九世纪末，挪威数学家S．Lie在研究微分方程解的对称性时引出了李群的概念．当时，受Galois理论的启发，数学家们将变换群的思想推广到几何与分析领域，发现几何或分析领域的自同构变换群其本身通常也会具有自然的几何或分析的结构，李群正是这样的一种结合体．李群理论是随着微分方程用积分求解的可能性问题以及连续变换群的研究而发展起来的．由于李群运算的可微性，使得可以考虑它在无穷小层面上的线性化，从而得到一种无穷小群的结构，这种结构后来就被称为李代数．李的基本定理告诉我们，李代数完全

4、决定了李群的局部性质．由此出发，李群的局部结构问题就转化成了纯粹且相对简单的代数问题．1934年，H．Weyl正式引进了李代数这一术语，并指出李代数具有独立的研究价值，而随后数学的发展证实了这一点．李代数的经典理论的重要性在于它对李群的应用．W．Killing和E．Cartan对于可解李代数，半单李代数等结构的研究取得了丰富的成果．经过E．Car乞an的工作和H．Weyl等人的完善，特征为零的域上的有限维单李代数的分类问题已经获得了圆满的解决．随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升．到2

5、0世纪50年代以后，李代数已不再仅仅作为研究李群的代数工具，它已经成为—个独立的数学分支并取得了很快发展．复单李代数之所以有很好的结构性质，很大程度上取决于其上的Killing型，作为复单李代数的自然推广，是带有非退化、对称、不变双线性型的李代数，由于它在量子场论中的特殊作用，物理学家通常称之为对称自对偶李代数．单李代数自然是对称自对偶李代数，但非单的对称自对偶李代数大量存在，而且已经证明这类李代数对量子场论有很重要作用，4维扩张Heisenberg李代数是第一个这样的例子。但是，这类李代数的结构问题还远没有解决．

6、1985年A．Medina和P．Revoy首次在李代数中使用了双扩张的概念，从而使我们对李代数的结构有了更深刻的认识，1987年，G．Favre，和L．J．San-对称自对偶色李代数引言tharoubane两人把李代数的双扩张进行了完善并且给出了一些应用，到了1997年，M．Bordemann研究了更一般的情况，考虑非结合代数上的非退化不变双线性型，更重要的是他引进了T。．扩张的概念，优于前人的是通过一次扩张就可以得到相应的结果．同年，H．Benamor和S．Benayadi把这些结果推广到了李超代数．本文研究对称

7、自对偶色李代数的结构性质．色李代数是李代数和李超代数的自然推广，在量子理论和共形场论等领域有很重要的作用，我们希望在色李代数上建立结构理论，解决有限维单色李代数的分类问题，本文首先讨论对称自对偶色李代数的结构性质，希望对作为这类色李代数特例的单色李代数的分类问题起作用．本文我们研究特征为零的代数闭域F上的有限维色李代数．我们用g表示色李代数．设A=o^￡rA▲是一个带有单位元的r．阶化的F上的结合代数，即A^^CA^伽A，p∈r，因此1∈Ao．我们称单阶化的结合代数，如果A无非平凡的r-阶化理想．我们用日(A)表示

8、A的所有的齐次元的集合．如果我们在A上定义双线性色李括号【．’．】：p，引=xy—E仁，9)yx，Vz，秒∈日(A)，那么(A，【．，．】)就构成色李代数，其中色李代数的定义可见(窿义1．1】)．A的一个理想U是指A的_个r．阶化向量空间满足IA，U】cU，有时也称为(e，r)．理想．A的￡-中心五(A)是指：五=五(A)=O∈AIk，al=o)．很容易看出