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1、第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【知识梳理】1.必会知识教材回扣 填一填(1)二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线Ax+By+C=0分成三类:①满足Ax+By+C__0的点;②满足Ax+By+C__0的点;③满足Ax+By+C__0的点.=><(2)二元一次不等式表示平面区域的判断方法:直线l:Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分,当点在直线l的同一侧时,点的坐标使式子Ax+By+C的值具有_____的符号,当点在直线l的两侧时,点的坐标使Ax+By+C的值具有_____的符号.相同相反(3)线性规划中的基本概念:名 称意 义
2、约束条件由变量x,y组成的___________线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的___________目标函数关于x,y的函数_______,如z=x+2y线性目标函数关于x,y的_____解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)不等式(组)不等式(组)解析式一次名 称意 义可行域所有_______组成的集合最优解使目标函数取得_______________的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的_______或_______问题可行解最大值或最小值最大值最小值2.必备结论教材提炼 记一记(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域:①直线定界:不
3、等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线;②特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.(2)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域:对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则有①当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;②当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.(3)最优解和可行解的关系:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.3.必用技法核心总结 看一看(1)常用方法:特殊点法,平移法.(2)数学思想:数形结合
4、思想.(3)记忆口诀:线定界,点定域,一画二移三求.【小题快练】1.思考辨析静心思考 判一判(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.()(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.()(4)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.()【解析】(1)错误,不等式Ax+By+C>0表示的平面区域不一定在直线Ax+By+C=0的上方,因为(Ax+By+C)·B>0不一定成立.(2)错误,当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时,就无法表示平面
5、上的一个区域.(3)正确,当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时,最优解无穷多.(4)错误,目标函数z=ax+by(b≠0)中,是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.答案:(1)×(2)×(3)√(4)×2.教材改编链接教材 练一练(1)(必修5P86T3改编)不等式组表示的平面区域是()【解析】选C.x-3y+6<0表示直线x-3y+6=0左上方部分,x-y+2≥0表示直线x-y+2=0及其右下方部分.故不等式组表示的平面区域为选项C所示部分.(2)(必修5P93习题3.3A组T2改编)已知x,y满足则z=-3x+y的最大值为.【解析】由题意画出平面区域为:当直线-3x+y=0经过点
6、A时,z取得最大值.由可得即点A(1,3).所以zmax=-3x+y=-3×1+3=0.答案:03.真题小试感悟考题 试一试(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为()A.10B.8C.3D.2【解析】选B.画出可行域,可知可行域为三角形,经比较斜率,可知目标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点(5,2)处,取得最大值z=8.故选B.(2)(2014·天津高考)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.作出可行域如图,结合图象可知,当目标函数通过点(1,1)时,z取得最小
7、值3.(3)(2014·湖南高考)若变量x,y满足约束条件且z=2x+y的最小值为-6,则k=.【解析】如图,画出可行域,l0:2x+y=0,当l0:2x+y=0运动到过点A(k,k)时,目标函数取得最小值-6,所以2k+k=-6,k=-2.答案:-2考点1平面区域面积的问题【典例1】(1)(2015·北京模拟)在平面直角坐标系xOy中,不等式组表示图形的面积等于()A.1B.2C.3D.4(2)(2015·
