Hermitian矩阵空间保秩1的加法映射问题

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1、哈尔滨工业大学硕士学位论文Hermitian矩阵空间保秩1的加法映射问题姓名：韩敬稳申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：郑宝东20050601!：!!!!。。，，』垒望些婆型茎垒姿—。。。。。。。一摘要研究各种不变量以及不变量保持的映射和变换历来是数学各学科领域关注的问题．在矩阵论中，刻画矩阵集之间保不变最的线性算子是数学家们感兴趣的课题，被称为线性保持问题的研究．1991年，M．Omladie和P．宣emrl用加法算子代替线性算子考虑了这类问题，自此开始了“加法保持问题”的研究．显然这类问题是线性保持问题的推广，但由于不能应用线性空间的理

2、论及系数交换的性质，使得这类问题的难度和技巧性大大增加．在保持问题中，许多问题如保行列式，保谱，保逆都可归结到保秩1的问题或在其帮助下完成，故不同矩阵空间上保秩1的保持问题成为其中最基本的研究问题之一，这也是本文的研究方向．关于保秩1的加法映射，已在复数域上的全矩阵空间，一般域上的上三角矩阵空间及特征不为2也不为3的域上的对称矩阵空间上做了刻画，但远没有得到完美的结果．2005年，唐孝敏研究了Hermitian矩阵空间上的此类问题，给出了复数域C上不同维数的Hermitian矩阵空间巩(c)到％(C)的保秩1的加法映射在满足条件ran奄f(I。)

3、=n时的形式．在此基础上，本文在更一般的实域上的四元数体Q上考虑这一问题，给出了Hermitian矩阵空间点k(Q)到王k(Q)的保秩1的加法映射在满足条件rankf(I,、)=n时的形式，并进一步得到了实数域上的四元数体QR上Hcrmifian矩阵空间的相应结论，从而推广了唐的结果．保秩1之所以成为保持问题中最基本的研究问题之一，是因为其广泛的应用性，许多其他的保持问题都可归结到保秩1的问题或在其帮助下完成．所以利用前面所得结论，我们研究了Hermitian矩阵空间上保其他不变量的某些加法映射．对于复数域C上的Hermitian矩阵空间，在唐结

4、论的基础上刻画了巩(c)上保行列式的加法满射以及其上保谱的加法满射；对于四元数体Q上的Hermitian矩阵空间，在本文第三章结论的基础上刻画了％(Q)上保一般线性群的加法单射，^k(Q)上保秩可加的加法单射及其上保秩可减的加法单射．关键词加法映射；四元数体；Hermitian矩阵；秩：，，，，』篁童型堕塑鐾篓鏊圣。，。—，—。一AbstractItisalwaysafocustostudyinvariantorstudymapsandtransformationspre—servinginvariantineverybranchofmathem

5、atics．Inmatrixtheory，mathematiciansareinterestedincharacterizingthelinearoperatorspreservingsomeinvariantbetweenmatrixsets．ItiscalledthestudyofLinearPreserverProblems．SinceM．Omladi5andESemrlreplacedlinearoperatorswithadditiveoperatorstoconsidertheproblemsin1991，thestudyofAddi

6、tivePreserverProblemshasbegun．Obviously,AdditivePre-serverProblemsaretheimprovementofLinearPreserverProblems．ButbecausethetheoryoflinearspaceandthecommutativityofcoefficientCan’tbeappliedtothem，AddifivePreserverProblemsaremoredifficultandneedmoreskills．InPreserverProblems，man

7、yresearchessuchaspreservingdeterminant，preservingspectrum，pre-servinginverseCanbetransformedtorank一1preserverproblemorcanbesolvedwithitSheIp．Sothestudyofrank-1preserverproblembetweenvariousmatrixspaceshasbeenoneoftllemostbasicresearchdirectioninthem．FortheadditivefRnk-lpreser

8、vingmaps，therearealreadysomeresultsonfullmatrixspacesovercomplexnumb