Grassmann流形G（2，8）和R_278_上的复结构

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3、rassmann代数，能够进行高维的几何计算和分析，被Clifford取名为几何代数．历史上，c抛[41，Weyl[2]，ChevaUey[5][6】等数学大师都曾研究和应用过Clifford代数，对它的发展起了重要作用．近年来，Clifford代数及Spin表示在微分几何、理论物理、经典分析等方面取得了辉煌的成就，是现代理论数学和物理的一个核心工具，并在现代科技的各个领域，如机器入学、信号处理、计算机视觉、计算生物学、量子计算等方面有广泛的应用．众所周知，Grassmann流形在微分几何中占有很重

4、要的地位．比如，Grass-mann．流形上的典型向量丛是微分矢丛的万有丛，因而它的同调结构是示性类理论的基础(【9】[12】【13】)．另外Grassmann流形是齐性空间、对称黎曼空间的典型例子，对它的黎曼几何性质的研究已有很多([[11][14118])．在子流形的微分几何的研究中，它是欧氏空间中一般子流形的Gauss映射的靶空间．本文的目的是通过研究Grassmann流形G(2，8)来讨论8维欧氏空间舻以及标准球面S6和伊上的复结构．Grassmann流形G(2，8)是欧氏空间斧中2维定向子

5、空间的集合，它可以看作欧氏空间辟上2维外向量空间^2(印)的一个子流形．在8维Clifford代数c如与外代数^(萨)的自然同构下，又可以把G(2，8)看作C98的子流形．Lawson和Michelsohn[10]指出存在类似张量运算的局部Spinor计算，它们应是局部黎曼几何的重要组成部分．在文[15】中周建伟教授具体构造Clifford代数的不可约表示空间，进而建立了Cfifford代数和矩阵代数的同构．他给出了Clifford代数c如的不可约模的一组生成元，利用这组生成元给出了Clifford

6、代数e如与矩阵代数R(16)之间的代数同构圣：Cgs竺R(16)．本文把代数同构Grassoann流形G(2，8)和j栌上的复结构引言西限制在Clifford代数c如的子流形C(2，8)上，建立Grassmann流形G(2，8)与欧氏空间科上所有保定向的复结构全体的同胚，记为妒．利用此同胚映射矿可以证明C(2，8)是so(8)的全测地子流形．fl7】证明了存在纤维丛7r：c(2，8)一S6，纤维为复射影空间CPa．本文在§3中证明把同胚映射矿限制到丌：C(2，8)一s6的每一纤维，得到了s6的切空间

7、上全体保定向的复结构．进一步将矿限制到纤维丛下：CP3一s4的每一纤维，给出s4切空间上的保定向复结构的全体．2Gra蹄mann流形a(2，8)和j铲上的复结构§1预备知识§1预备知识为了叙述完整起见，我们首先简要介绍有关Clifford代数c￡。，萨上的复结构以及Grassmann流形a(2，8)方面的知识．1．1Clifford代数Cls设讲是8维欧氏空间，优8是相应的Clifford代数．Clifford代数是一个结合代数，其上有两种运算：加法运算和乘法运算．设iH一，自是R8上取定的一组幺正

8、基，那么Clifford代数Cgs中元素可用形如毛。毛。⋯‰的元生成．Clifford乘法由下式决定b配+配b=--26BC，B，C=1，⋯，8．定义Clifford代数Cgs的体积元素为“8=ile2⋯西．定义Clifford元素风=el黾如西，蠡=烈Ie-复一1+√黾)，t毒l，⋯，4，●显然魇=1．记As=Re(蚕l·一西)．定义Cgs上的子空间V=Cts．A8(1+风)，它是％的不可约表示空间，也叫做Spin空间．进一步y可以分解为V=V+oy一，其中y+=c