2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程专题突破四圆锥曲线的定点、定值与最值问题学案

《2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程专题突破四圆锥曲线的定点、定值与最值问题学案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题突破四　圆锥曲线的定点、定值与最值问题与圆锥曲线有关的定点、定值问题是高考考查的热点，难度较大，此类问题常常作为第19题或第20题的第二问，常以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，以坐标运算为基础，一般是证明满足条件的直线过定点，目标代数式为定值，或计算面积、长度、数量积等的最大值、最小值．求解此类问题的关键是引进变化的参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．一、定点问题例1　已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1

2、,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．(1)解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得

3、O1A

4、＝

5、O1M

6、，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴

7、O1M

8、＝，又

9、O1A

10、＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明　由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，

11、y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64>0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①x1x2＝，②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以＝－，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．点评　求定点问题，需要注意

12、两个方面：一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向．二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为y＝kx＋b，则直线y＝kx＋b恒过点(0，b)，若直线方程为y＝k(x－a)，则直线恒过点(a,0)．跟踪训练1　设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，且过点.(1)求椭圆E的方程；(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：x－my－t＝0与

13、椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标．考点　椭圆中的定值、定点问题题点　椭圆中的定点问题解　(1)由e2＝＝＝，可得a2＝2b2，椭圆方程为＋＝1，代入点可得b2＝2，a2＝4，故椭圆E的方程为＋＝1.(2)由x－my－t＝0得x＝my＋t，把它代入E的方程得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝，x1x2＝(my1＋t)(m

14、y2＋t)＝m2y1y2＋tm(y1＋y2)＋t2＝.因为以MN为直径的圆过点A，所以AM⊥AN，所以·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝＋2×＋4＋＝＝＝0.因为M，N与A均不重合，所以t≠－2，所以t＝－，直线l的方程是x＝my－，直线l过定点T，由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，所以直线l过定点T.二、定值问题例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2，)在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段

15、AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．考点　题点　(1)解　由题意有＝，＋＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.(2)证明　方法一　设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入＋＝1，得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝＝，yM＝k·xM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，

16、yM)，则①－②得＋＝0，∴kAB＝＝－＝－·.又kOM＝，∴kAB·kOM＝－.∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．点评　(1)求定值问题的常用方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(2)定值问题就是在运动变化中寻找