17-18版 热点探究训练3 数列中的高考热点问题

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1、热点探究训练(三)　数列中的高考热点问题1．(2017·广州综合测试(一))已知数列{an}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2log2an－1，求数列{anbn}的前n项和Tn.[解]　(1)设数列{an}的公比为q，因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.2分因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.因为公比q≠0，所以q＝2.所以an＝a2qn－2＝4×2n－2＝

2、2n(n∈N*).5分(2)因为an＝2n，所以bn＝2log2an－1＝2n－1，所以anbn＝(2n－1)2n，7分则Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n＋1.②由①－②得，－Tn＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1＝2＋2×－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，所以Tn＝6＋(2n－3)2n＋1.12分2．(2016·四川高考)已知数列{an}的首项为1

3、，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.[解]　(1)由已知Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，3故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．所以，数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列．从而an＝qn－1.3分由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2

4、a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2.所以an＝2n－1(n∈N*).5分(2)由(1)可知an＝qn－1，所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.8分由e2＝＝2解得q＝，所以e＋e＋…＋e＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n－1)]＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n－1)]＝n＋＝n＋(3n－1).12分3．(2016·南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝6.正项数列{bn}满足b1·b2·b3·…·bn＝2Sn.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若λ

5、bn>an，对n∈N*均成立，求实数λ的取值范围．【导学号：66482267】[解]　(1)∵等差数列{an}中，a1＝1，S3＝6，∴d＝1，故an＝n.2分由①÷②得bn＝2Sn－Sn－1＝2an＝2n(n≥2)，b1＝2S1＝21＝2，满足通项公式，故bn＝2n.5分(2)λbn>an恒成立，即λ>恒成立，7分设cn＝，则＝，当n≥1时，cn＋1≤cn，{cn}递减，3∴(cn)max＝c1＝，故λ>，∴λ的取值范围是.12分4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)

6、．(1)求数列{bn}的通项公式；(2)证明：＋＋…＋<7.[解]　(1)由题意得an＋1＋1＝2－＝，bn＋1＝＝＝＝＋＝bn＋.3分又b1＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列，∴bn＝.5分(2)证明：当n＝1时，左边＝＝4<7不等式成立；6分当n＝2时，左边＝＋＝4＋1＝5<7不等式成立；8分当n≥3时，＝<＝4，左边＝＋＋…＋<4＋1＋4＝5＋4＝7－<7.10分∴＋＋…＋<7.12分3