热点探究课3　数列中的高考热点问题导学案

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1、热点探究课(三)　数列中的高考热点问题[命题解读]　数列在中学数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，解答题第1题(全国卷T17)交替考查数列与解三角形，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与函数、不等式的交汇，难度中等．热点1　等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．　(2016·

2、天津高考)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.(1)求{an}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．[解]　(1)设数列{an}的公比为q.由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1.2分又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1.5分(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，即{bn}是首项为，公差为1的等差数列.8分

3、设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2.10分[规律方法]　1.若{an}是等差数列，则{ban}(b>0，且b≠1)是等比数列；若{an}是正项等比数列，则{logban}(b>0，且b≠1)是等差数列．2．对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比数列之间的相互转化．[对点训练1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对一切正整数n都成立．

4、(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列的前n项和最大？【导学号：57962265】[解]　(1)取n＝1，得λa＝2S1＝2a1，a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，则Sn＝0.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以an＝0(n≥1).2分若a1≠0，则a1＝.当n≥2时，2an＝＋Sn,2an－1＝＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，所以an＝a1·2n－1＝·2n－1＝.综上，当a1＝0时，an＝0；当

5、a1≠0时，an＝.5分(2)当a1>0，且λ＝100时，令bn＝lg，由(1)知，bn＝lg＝2－nlg2.7分所以数列{bn}是递减的等差数列，公差为－lg2.b1>b2>…>b6＝lg＝lg>lg1＝0，当n≥7时，bn≤b7＝lg＝lg

6、(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．[思路点拨]　(1)取n＝1，先求出a1，再求{an}的通项公式．(2)将an代入anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得出数列{bn}为等比数列，再求{bn}的前n项和．[规范解答]　(1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2.3分所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1.5分(2)由(1)知anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，7分因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列.9分记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－

7、.12分[答题模板]　第一步：求出{an}的首项a1；第二步：求出{an}的通项公式；第三步：判定{bn}为等比数列；第四步：求出{bn}的前n项和；第五步：反思回顾，查看关键点，易错点注意解题规范．[温馨提示]　若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．首项与公差是等差数列的“基本量”，首项与公比是等比数列的“基本量”．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法．[对点训练2]　数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设bn＝3

8、n·，求数列{bn}的前n项和Sn.[解]　(1)证明：由已知可得＝＋1，2分即－＝1.所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列.5分(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.7分从而bn＝n·3n.Sn＝1·31＋2·32＋3·33