数学人教版八年级下册17.1.1勾股定理

数学人教版八年级下册17.1.1勾股定理

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1、17.1 勾股定理第1课时 勾股定理1.经历探索及验证勾股定理的过程,体会数形结合的思想;(重点)2.掌握勾股定理,并运用它解决简单的计算题;(重点)3.了解利用拼图验证勾股定理的方法.(难点)                  一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树,这就是著名的毕达哥拉斯树,它由若干个图形组成,而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形.各组图形大小不一,但形状一致,结构奇巧.你能说说其中的奥秘吗?二、合作探究探究点一:勾股定理【类型一】直接运用勾股定理如图,在△ABC中,∠

2、ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,CD⊥AB于D,求:(1)AC的长;(2)S△ABC;(3)CD的长.解析:(1)由于在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,根据勾股定理即可求出AC的长;(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC;(3)根据面积公式得到CD·AB=BC·AC即可求出CD.解:(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,AB=13cm,BC=5cm,∴AC==12cm;(2)S△ABC=CB·AC=×5×12=30(cm2);(3)∵S△ABC=AC·BC=CD·

3、AB,∴CD==cm.方法总结:解答此类问题,一般是先利用勾股定理求出第三边,然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积,然后根据面积相等得出一个方程,再解这个方程即可.【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,试求△ABC的周长.解析:本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论.解:此题应分两种情况说明:(1)当△ABC为锐角三角形时,如图①所示.在Rt△ABD中,BD===9.在Rt△ACD中,CD===5,∴BC=5+9=14,∴△AB

4、C的周长为15+13+14=42;(2)当△ABC为钝角三角形时,如图②所示.在Rt△ABD中,BD===9.在Rt△ACD中,CD===5,∴BC=9-5=4,∴△ABC的周长为15+13+4=32.∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.方法总结:解题时要考虑全面,对于存在的可能情况,可作出相应的图形,判断是否符合题意.【类型三】勾股定理的证明探索与研究:方法1:如图:对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED,所以∠BAE=

5、90°,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE的面积相等,而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和.根据图示写出证明勾股定理的过程;方法2:如图:该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的,你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗?解析:方法1:根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答;方法2:根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答.解:方法1:S正方形ACFD=S四边形ABFE=S△

6、BAE+S△BFE,即b2=c2+(b+a)(b-a),整理得2b2=c2+b2-a2,∴a2+b2=c2;方法2:此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°,再向下平移得到.∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD,S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD,∴S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD,即b2+ab=c2+a(b-a),整理得b2+ab=c2+a(b-a),b2+ab=c2+ab-a2,∴a2+b2=c2.方法总结:证明勾股定理时,用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形,然后利

7、用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理.探究点二:勾股定理与图形的面积如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是________.解析:根据勾股定理的几何意义,可得正方形A、B的面积和为S1,正方形C、D的面积和为S2,S1+S2=S3,即S3=2+5+1+2=10.故答案为10.方法总结:能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边,根据勾股定理最终能够证明正方形A

8、、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积.三、板书设计1.勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.2.勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”.3.勾股定理与图形的面积课堂教学中,要注意调动学生的积极性.让学生满怀激情地投入到学习中,提高课堂效率.勾股

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