2016年杨浦高三二模（文理）

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1、杨浦区2015学年度第二学期高三年级学业质量调研数学学科试卷（理科）2016.4.一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、函数的定义域为.2、已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数.3、计算.4、若向量、满足，，且与的夹角为，则.5、若复数其中是虚数单位，则复数的虚部为.6、的展开式中，常数项为.7、已知的内角、、所对应边的长度分别为、、，若，则角的大小是.8、已知等比数列的各项均为正数，且满足：，则数列的前7项之和为.9、在极坐标系中曲线：上的点到距

2、离的最大值为.10、袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以表示取到的球中的最大号码，则的数学期望是.11、已知双曲线的右焦点为，过点且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点，在直线上，且满足，则.12、现有位教师要带个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有.（用数字作答）13、若关于的方程在内恰有三个相异实根，则实数的取值范围为.14、课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可用来求旋转体的体积.现介绍用祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半

3、径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15、下列函数中，既是奇函数，又在区间上递增的是（）A、B、C、D、16、已知直线的倾斜角为，斜率为，则“”是“”的（）

4、A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分也非必要条件17、设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A、B、C、D、18、已知命题：“若为异面直线，平面过直线且与直线平行，则直线与平面的距离等于异面直线之间的距离”为真命题.根据上述命题，若为异面直线，且它们之间的距离为，则空间中与均异面且距离也均为的直线的条数为（）A、条B、条C、多于条，但为有限条D、无数多条三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19．（本题满分12分，其中第一小题6分，第二小题6分）如图，底面是直角

5、三角形的直三棱柱中，，是棱上的动点.（1）证明:；（2）求三棱锥的体积.20.（本题满分14分，其中第一小题8分，第二小题6分）某菜农有两段总长度为20米的篱笆及，现打算用它们和两面成直角的墙、围成一个如图所示的四边形菜园（假设、这两面墙都足够长）．已知（米），，．设，四边形的面积为．（1）将表示为的函数，并写出自变量的取值范围；（2）求出的最大值，并指出此时所对应的值.21.（本题满分14分，其中第一小题6分，第二小题8分）已知函数，其中.（1）根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由；（2）已知，函数的反函数为，若函数在区间上的最小值为，求函数在区间上的最

6、大值.22.（本题满分16分，其中第一小题4分，第二小题6分，第三小题6分）已知椭圆的焦距为，且右焦点与短轴的两个端点组成一个正三角形.若直线与椭圆交于、，且在椭圆上存在点，使得：（其中O为坐标原点），则称直线具有性质.（1）求椭圆的方程；（2）若直线垂直于轴，且具有性质，求直线的方程；（3）求证：在椭圆上不存在三个不同的点、、，使得直线、、都具有性质.23.（本题满分18分，第一小题5分，第二小题5分，第三小题8分）已知数列和满足：，且对一切，均有.（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）设，记数列的前项和为，问：是否

7、存在正整数，对一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整数的值；若不存在，请说明理由.理科评分标准一、填空题1．2．23．4．5．6．7．8．79．10．4.511．12．5413．14．二、选择题15．C16．A17．C18．D三、解答题19．解：（1）证明：∵，，∴侧面.（3分）∵侧面.∴.（3分）（2）=,（3分）（3分）20．解：（1）在中，由正弦定理，得，（2分）于是，，（2分），（2分）所以四边形的面积为．（2分）（2）．（4分）所以，当时，四边形的面积取得最大值．（2分）21．解：（1）函数的定义域为，关于原点对称，（1分）由，可得：，.当时，，，为

8、非奇非偶函数；（3分）当时，由，所以为