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1、第五章时间序列的预报最小方差估计平稳线性最小均方误差预报一类非平稳序列的线性最小均方误差预报ARMA序列的新息预报第一节最小方差估计一.最小方差估计准则对未知随机变量或未知随机向量进行估计是时间序列分析中预测理论的重要内容。令表示依据量测Z对X所得的某种估计，称为X的估计，它是与X的维数相同的随机向量，而且是Z的函数.记估计的误差为，称为估计的均方误差阵，若存在某种估计，使得估计的均方误差阵比任何其他的均方误差阵都小，则称这个估计是最优的。注：这里所讲的估计的均方误差阵大小，是指矩阵的大小。设A,B为同阶对称阵，若A-B是
2、非负定阵，则称A不小于B，记为；若A-B是正定阵，则A大于B，记为A>B。二.条件期望与条件方差对于两个二阶矩有穷的随机向量，定义在给定Y=y的条件下，X的条件期望和条件方差分别记为E(X
3、y)和Var(X
4、y)其中p(x
5、y)是给定Y=y的条件下X的条件密度函数。条件期望的性质：(1)E(X
6、Y)是Y的函数向量并与X的维数相同，E(X
7、Y)使随机向量(2)E(X
8、Y)具有线性性，即对k个相同维数随机向量及k个常数有，(3)E[E(X
9、Y)]=EX(4)设X与Y为相互独立的随机向量，则E[f(X)
10、Y]=f(X)其中f()
11、为适当的函数向量，仅要求f(x)为随机向量。(5)E[f(Y)
12、Y]=f(Y)(6)(7)当X与Y的联合分布为正态分布时，则三.最小方差估计寻找最小方差估计就是寻找一个适当的Z的函数为随机函数向量，较之其它估计相应估计的均方误差阵达最小，即可以证明：注：（1）最小方差估计是无偏估计（2）最小方差估计的均方误差阵为四.线性最小方差估计若估计为量测随机向量Z的线性函数其中为n维随机向量，Z为m维随机向量，a为与同维数的常值向量，A为非随机矩阵，选择a,A是估计的均方误差阵达最小的估计称为线性最小方差估计。X的线性最小方差估计为
13、的性质：(1)线性最小方差估计具有无偏性(2)线性最小方差估计的估计误差为且与Z正交。定义1.1设X与Z分别是二阶矩的n维与m维随机向量，如果存在一个与X同维数随机向量，且具有下列性质：(1)可由Z的线性表示，即,其中a和A分别为常值向量和常值矩阵(2)(3)与Z正交，即则称是X在Z上的投影，记为注：(1)线性最小方差估计是X在Z上的投影(2)X在Z上的投影只能是线性最小方差估计，即投影是唯一的(3)当X与Z为联合正态时,X关于Z的条件期望和X在Z上的投影相等，即第二节平稳线性最小均方 误差预报预报是根据现在和过去的观察资
14、料，对未来时刻的取值进行估计。设为零均值平稳序列，为的长度为k的样本，根据对(为正整数)做出估计，取估计的优劣标准为使估计误差(2.1)的方差达最小，则(1)(2.2)称为步最小均方误差预报。(2)如果函数f是的线性函数,那么(2.2)为正交投影，即其中，称为步线性最小均方误差预报。注：(1)当为正态序列时，最小均方误差预报与线性最小均方误差预报是一致的。(2)当为非正态序列时，最小均方误差预报要优于线性最小均方误差预报。例2.1:设为相互独立的随机变量,,令分别求Y关于X的线性最小均方误差估计和最小均方误差估计。线性最小
15、均方误差估计具体的表述：选择使得达最小。由于因此，令则有，将理论自协方差函数换成样本自协方差函数，得到，(1.5)于是步线性最小均方误差预报为存在的问题：1.样本自协方差函数由计算出来，k很大，故(1.5)的计算量极大2.部分样本自协方差函数无法计算。为克服上述困难,不妨假设已获得的观测资料为所有的历史资料,即为，令表示由k时刻和它之前的所有历史数据对所作的步线性最小均方误差预报，即其中是使步预报误差的均方达到最小，则有1.1步预报和预报误差方差设为ARMA(p,q)序列，其传递形式和逆转形式分别为且令可知，则序列的步线性
16、最小均方误差预报为：(1.11)步预报误差为：(1.12)步预报误差方差为：(1.13)注：(1)由(1.11)可得(1.14)(1.14)表明，在k+1时刻的步预报等于k时刻的步预报加上k时刻的一步预报误差得加权修正项。(2)由两部分组成，第一部分为步预报误差，第二部分为步预报(3)等式(1.13)表明：在线性最小均方误差预报意义下，步预报误差方差仅与预报步数有关，而与预报起点k无关，并且步数愈大，预报误差也就愈大，即预报精度愈差。对于ARMA(p,q)模型参数与Green函数的关系式：其中当模型建立后，由模型参数逐步递
17、推得到，再由公式(1.12),(1.13),(1.14)计算出步预报和预报误差，误差方差。1.2ARMA(p,q)序列的平稳线性最小均方误差预报一.AR(p)序列的预报模型：步预报为当时，有定理1.1设为AR(p)序列，则观测到时刻k为止的各步预报有如下递推公式:(1.16)注：定理1.1表明，对AR(
