资源描述：
《时间序列分析-第五章 时间序列的预报.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第五章时间序列的预报杭州电子科技大学程宗毛Note对时间序列进行统计分析的主要目的就是对时间序列进行预测。在第一章中我们已经知道任何的时间序列{Xt}都可以分解成趋势项、季节项和随机项。趋势项和季节项可以看作是非随机的时间序列进行处理，而随机项一般是平稳序列，故我们这一章主要讨论平稳序列的预测问题。平稳序列的方差有限，所以我们总是假设我们本章中的随机变量方差有限，而一般平稳序列与零均值平稳序列只是相差一个常数，所以我们主要讨论零均值平稳序列的预测问题。主要内容5.1最佳线性预测的基本性质5.2非决定性平稳序列及其Wold表示5.3时
2、间序列的递推预测5.4ARMA(p,q)序列的递推预测5.1最佳线性预测的基本性质主要内容：A.最佳线性预测B.Hilbert空间中的投影C.最佳预测最佳线性预测设X1,X2,…,Xn为某时间序列的一段，Y是一个随机变量。我们考虑用X1,X2,…,Xn对Y进行线性预测的问题。也就是说，考虑用X1,X2,…,Xn的线性组合对Y进行预测。记，，则Y的线性预测有下面形式，（1.1）我们的目标就是找一个a，使得与Y最接近。为此我们引入相关的定义。最佳线性预测定义定义1.1设Y和是均值为零，方差有限的随机变量。如果，对任何的，有，就称是用X1
3、,X2,…,Xn对Y进行预测的最佳线性预测，记作或。且此时预测误差为，而则成为均方误差，所以在方差最小意义下，最佳线性预测确实是线性预测中最好的。定义1.2如果EY=b，EX=，定义（1.3）并称用X1,X2,…,Xn对Y进行预测的最佳线性预测性质1性质1如果，使得,（1.5）则，并且有.(1.6)如果和E(XY)已知，以a为未知数的线性方程组(1.5)被称为预测方程。性质1证明证明：对任何，E(Y-bTX)2=E(Y-aTX+(aT-bT)X)2=E(Y-aTX)2+E((aT-bT)X)2+2E[(aT-bT)X(Y-aTX)]
4、=E(Y-aTX)2+E((aT-bT)X)2+(aT-bT)[E(XYT)-E(XXTa)]+[E(YXT)-E(aXXT)](a-b)=E(Y-aTX)2+E((aT-bT)X)2E(Y-aTX)2所以，aTX是Y的最佳线性预测。利用（1.5）得E[Y-L(Y
5、X)]2=E(Y-aTX)2=EY2+aTE(XXT)a-2aTE(XY)=EY2+aTΓa-2aTΓa=EY2-aTΓa性质2性质2（1）如果，则；（2）预测方程总有解；（3）如果，取正交矩阵A，使得，定义和，则正定，并当取（1.7）时，.性质2证明证明仅证（3）和（2
6、）.由于，所以，并且是正定矩阵。当α有（1.7）给出时，有则：.性质2证明所以两边同时乘以后，得到E(XY).由性质1，.于是，方程组总有解，即（2）成立。性质3性质3尽管a由方程组决定时可以不唯一，但总是几乎必然唯一的。证明：设a满足。按性质1的证明，对任何,总有+.如果也是最佳线性预测，则必有.性质4性质4（1）如果，则0；（2）如果，则.证明：（1）由性质1直接得到（2）由最佳线性预测的定义得到。性质5性质5设…,是随机变量，是常数。如果，则。证明：设，，则有.于是，由性质1得到：.性质6性质6设，，如果，则有.证明：设，，其
7、中a,b分别满足,.于是，有性质1知道性质7性质7设是X的线性组合，则充要条件是（1.8）证明：当由性质1和2知道，设b满足预测方程（1.5），由性质1得到即有（1.8）成立，就有于是，b满足预测方程（1.5）.性质8性质8如果，，则有，并且（1.9）证明：的线性组合，利用，都和正交，得到正交。利用性质7得到.再由最佳线性预测的定义得到（1.9）.性质9性质9如果对任何,有.（1.10）证明预测时的最佳线性预测。利用定义1.1和方差的性质得到，对任何,有性质10性质10设X和Y分别为m和n维向量，如果有实矩阵A,B,使得,则.证明留
8、作习题。Examplebert空间中的投影下面说明最佳线性预测实际上是Hilbert空间中的投影。用表示全体方差有限随机变量所构成的Hilbert空间。设H是的闭子空间，我们证明H中存在唯一的，使得.（1.11）实际上，取,使得,则,并且当时，于是，是H中的基本列，从而使得均方收敛到。由内积连续性知道.于是，满足（1.11）.如果又有也使得（1.11）成立，仿照上面的推导得到.定义1.3如果H是的闭子空间，，使得（1.11）成立，就称是Y在H上的投影，记作，并称是投影算子。定义1.4设，如果对H中的任何,,就称Y垂直于H。定理1.1
9、设，，则的充分必要条件是垂直于H。证明：必要性:设，对，我们证明不妨设，这时由此得a=0.充分性：如果H中的垂直于H，则对任何，有于是。对于的闭子空间H，我们也用表示投影，关于投影算子，有如下性质：定理1.2设H,M是的闭子空间，是常
