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1、2007年第3期5立体几何中的截面问题傅钦志(浙江省衢州中专,324000)(本讲适合高中)于是,所求的另一截面应与A1D1、D1C1截面问题涉及到截面形状的判定、截面相交(不过其端点),为六边形.故选(B).面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图评注:先计算出特殊位置的截面与底面形的性质及截面图形的最值.本文介绍此类所成的角,再根据截面所处的位置确定截面问题的求解方法.的形状.若截面与棱DD1相交,则截面为五1 判断截面图形的形状边形;若截面与棱A1D1、D1C1都相交(但不过其端点),则截面为六边形;若截面与棱例1 过正方体
2、ABCD-A1B1C1D1的A1B1、B1C1都相交(但不过点B1),则截面棱AB、BC的中点E、F作一个截面,使截面为四边形.与底面所成的角为45°.则此截面的形状为().2 截面面积和周长的计算(A)三角形或五边形例2 如图2,正方体的三条棱为AB、(B)三角形或六边形(C)六边形BC、CD,AD是体对角(D)三角形或四边形线.点P、Q、R分别在(第六届希望杯全国数学邀请赛)AB、BC、CD上,AP=讲解:如图1,显5,PB=15,BQ=15,然,过点E、F必有一CR=10.那么,平面个截面与棱BB1相PQR向各方向延伸后图2
3、交,此截面是三角形.与正方体的交线组成设过点D1的截的多边形的面积是多少?面与底面所成的角为(第16届美国数学邀请赛)α,易求得图1讲解:因为BP=BQ,所以,PQ∥AC.这tanα=tan∠D1GD样,过点R且平行于PQ的直线交AF于点22U,且AU=CR.=<1.3因为过点R且平行于PQ的直线在平面故α<45°.PQR上,所以,U是相交得出的多边形的顶设过A1C1的截面与底面所成的角为β,点.又UR的中点是正方体的中心,故相交得易求得出的多边形上的点关于正方体中心对称.因tanβ=tan∠O1GO=22>1.此,它的面积是梯形
4、PQRU面积的2倍.故β>45°.易知UR=202,PQ=152,PU=55. 收稿日期:2006-12-19 修回日期:2006-12-28故所求面积为6中等数学UR-PQ2解法2:如图4,2(UR+PQ)PU-2作EM∥A1S∥D1F225交A1A于点M(S为=35×2×=525.2B1B的中点),作FN评注:解此题的关键是,正确画出平面∥C1T∥D1M交BCPQR与正方体相截的截面,并判断出它是关于点N(BT=AM),于正方体中心对称的.则五边形D1MENF图4例3 一平面与正方体表面的交线围成为截面图形.同解法1知应选(
5、A).的封闭图形称为正方体的“截面图形”.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是3 计算截面图形的个数AB的中点,F是CC1的中点.则过D1、E、F三点的截面图形的周长等于().例4 设四棱锥P-ABCD的底面不是1平行四边形,用平面α去截此四棱锥,使得(A)(25+213+95)12截面四边形是平行四边形.则这样的平面α1().(B)(15+413+95)12(A)不存在(B)只有一个(C)1(25+213+65)(C)恰有两个(D)有无数多个12(2005,全国高中数学联赛江苏赛区初赛)1(D)(15+413+65
6、)讲解:如图125,延长BA、CD(第十四届希望杯全国数学邀请赛)交于点M,联结分析:要计算截面图形的周长,先要作出PM,则PM为侧截面,其依据是平面的基本性质和确定平面面PAB与侧面的条件.作截面一般有两种方法:一是延长交PCD的交线.线得交点;二是作平行线.同理,PN为解法1:如侧面PAD与侧图5图3,分别延长面PBC的交线.D1F、DC得交设由直线PM、PN所确定的平面为β.作点P,作直线EP与平面β平行的平面α与四棱锥的各个侧面交BC于点N,相截,则截得的四边形是平行四边形(图5中交DA的延长线的四边形A1B1C1D1).
7、易知,这样的平面α图3于点S,联结有无数个.故选(D).D1S交A1A于点M,则五边形D1MENF为截例5 过正四面体ABCD的顶点A作一面图形.个形状为等腰三角形的截面,且使截面与底由相似三角形对应边成比例得面BCD所成的角为75°.这样的截面共可作A1M=3MA,CN=2NB.出个.易得截面五边形D1MENF的周长为(第六届希望杯全国数学邀请赛)1讲解:设正四面体的棱长为1.过点A作(25+213+95).126AO⊥平面BCD于点O,则AO=.以O为故选(A).32007年第3期76六边形EFGHIJ是符合要求的截面,它的周
8、圆心、cot75°为半径在平面BCD上作圆.333长l1=32,面积S1=.当截面为易知此圆在△BCD内,且所求截面与平面4BCD的交线是该圆的切线.正△A1BD时,其周长l2=32,面积S2=当切线与△BCD的一边平行时,对应的3截面△AMN是等
