奥赛立体几何中的截面问题学生.doc

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1、立体几何的截面问题一．主要知识：（1）【公理1】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.〖意义〗①作为判断和证明是否在平面内的依据；②证明点在某平面内的依据；③检验某面是否平面的依据.（2）【公理2】如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.〖意义〗①作为判断和证明两平面是否相交；②证明点在某直线上；③证明三点共线；④证明三线共点.（3）【公理3】经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.〖推论〗经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.〖推论〗经过两条相交直线有且只有一个平

2、面.〖推论〗经过两条平行直线有且只有一个平面.〖意义〗公理及其推论是空间里确定平面的依据，也是证明两个平面重合的依据，还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法.（4）【公理4】平行于同一条直线的两条直线互相平行（5）【等角定理】一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。〖推论〗两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相2．【主要题型】①截面形状的判断②截面面积和周长的计算③截面图形的计数④截面图形的性质和最值二．预备练习1.如图,点确定的平面与点确定的平面相交于直线,且直线与直线相交于点,直线与

3、直线相交于点,试作出面与面的交线．2.如图,分别是四面体的棱上的点，若直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，与相交于，证明三点共线．第8页共8页3.四面体中,分别为的中点,在上,在上,且有,求证：三线共点．4.平行六面体中,平面，求证：．三．例题讲解题型1。截面形状判断1．（05年全国）如图,分别是正方体的棱上的中点,试作出过三点的截面是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形变题：过棱长为2的正方体棱中点作一个与底面成.角的截面,则截面的图形为．题型2。截面面积及周长的计算1.过正方体的对角线的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则的值为

4、()A．B．C．D．第8页共8页2.已知正四棱锥的棱长都等于，侧棱的中点分别为和，若过三点的平面交侧棱于，则四边形的面积为_________3.如图，正方体的三条棱为,是体对角线。点分别在上，,那么，平面向各个方向延伸后与正方体的交线组成的多边形面积是多少？4.一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”，棱长为1的正方体中，，分别是,的中点，求过三点的截面图形的周长。题型3。截面图形的计数1.设四棱锥的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面()A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个第8页共8页2.

5、过正四面体的顶点做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面成角，问这样的截面可作几个？题型4。截面图形的性质1．水平桌面上放置着一个容积为的密闭的长方体玻璃容器,其中装有的水．则下列说法中正确的是．①把容器一端慢慢提起,使容器的一条棱保持在桌面上,这个过程中,水的形状始终是柱体；②在①中的运动过程中,水面是矩形；③把容器提离桌面,随意转动,水面始终过长方体的一个定点；④在③中水与容器的接触面积始终不变．2．设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式（）A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最

6、大值C．既有最大值又有最小值，两者不等D．是一个与面QPS无关的常数3．如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（）A．S为定值，不为定值B．S不为定值，为定值C．S与均为定值D．S与均不为定值第8页共8页题型5。截面图形的最值1.如图，在正方体中盛满水，分别为、、的中点.若三个小孔分别位于三点处，则正方体中的水最多会剩下原体积的（）A、　B、C、D、2.顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，，垂足为B，，垂足为H，且PA=4，C为P

7、A的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（）A.B.C.D.3.如图，四面体的各面都是锐角三角形，且，，，平面分别截棱于点,求四边形的周长最小值第8页共8页4.在长方体中，。记过的截面的面积为，求的最小值，并指出此时截面的位置。三．课外练习：1.正方体的截平面不可能是：(1)钝角三角形(2)直角三角形(3)菱形(4)正五边形(5)正六边形；下述选项正确的是：()A.(1)(2)(5)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(3)(4)(5)2．(08年江西)如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部P图1P图2镶嵌了同底的