几何体中的截面问题

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1、几何体中的的截面问题1．定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点．2．作多面体的截面方法(交线法)：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面．题型一、截面的形状1．P、Q、R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1、CC1和DD1上，试画出过P、Q、R三点的截面．1解答：(1)连接QP、QR并延长，分别交CB、CD的延长线于E、F.(2)连接EF交AB于Ｔ，交AD于S．(3)连接RS、TP。

2、则多边形PQRST即为所求截面。2．已知P、Q、R分别是四棱柱ABCD―A1B1C1D1的棱CD、DD1和AA1上的点，且QR与AD不平行，求作过这三点的截面．2解答：(1)连接QP并延长交DA延长线于点I。(2)在平面ABCD内连接PI交AB于点M。(3)连接QP、RM。则四边形PQRM即为所求。注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。ACBD3．一个正方体内接于一个球，过这个

3、球的球心作一平面，则截面图形不可能是63答案：D解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。题型二、截面面积、长度等计算4．过正方体的对角线的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则的值为()A．B．C．D．4答案：C解析：设M、N分别为AA1、CC1的中点.易证截面BMD1N是边长为的菱形(正方体棱长设为1),其面积S(min)=.而截面BB1D1D是矩形,其面积S(max)=．5.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截

4、面面积为．5答案：解析：平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．Ｏ２ＯＣＯ26．已知球的半径为，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为，则两圆的圆心距等于（）A．B．C．D．6答案：C解析：与的公共弦为AB，球心为Ｏ，AB中点为C，则四边形为矩形，所以7．已知正四棱锥P—ABCD的棱长都等于,侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD

5、所成二面角大小的正切值为．7答案：6解析：过A在平面ABCD内作直线，连接AC,BD交于O，连接PO，MN．记PO、MN交于O‘．因为PB、PD的中点分别为M、N，所以MN//BD，因为，所以，，所以平面AMN，平面AMN∩平面ABCD．易知即为面AMN与底面ABCD所成二面角的平面角．8．如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S。则下列命题正确的是_____①当时，S为四边形②当时，S为等腰梯形③当时，S与的交点R满足④当时，S为六边形⑤当时，S的面积为8答案：①②③⑤解析：.对①，,

6、则所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真.对②,，截面S为四边形截面S为等腰梯形.所以为真.对③,所以为真.对④,.截面S与线段相交，所以四边形S为五边形.所以为假.对⑤,.对角线长度分别为所以为真.69．如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为.则（）A．S为定值，不为定值B．S不为定值，为定值C．S与均为定值D．S与均不为定值9答案:B解析:将正方体切去两个正三棱锥与后，得到一个以平行平面与为上、下底面的几何体V，V的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W的每一条边分别与V

7、的底面上的一条边平行，将V的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形，而多边形W的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然，故为定值。当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时，W为正三角形，易知周长为定值的正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。题型三、截面图形的计数10．设四棱锥的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面()A.不存在B.只有1个C.恰有4个D.有无数多个10答案：D解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m、n确定了平面β，作与β平行的平面α与四棱锥

8、侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形．这样的平面α有无数多个．11．过正四面体的顶点做一个形状为等腰三角形的