高考数学复习 第十二讲 立体几何之空间角

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1、第十二讲立体几何之空间角一、基本知识回顾空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。1）异面直线所成角2）直线与平面所成角若则或若则3）二面角(为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成锐二面角的平面角)当为锐角时，当为锐角时，二、例题讲解1.在正三棱柱中，若与所成的角的大小。解：法一：如图一所示，设为、的交点，的中点，则所求角是。设，于是在中，即法二：取的中点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系的长度单位，则由有2.如图二所示，在四棱锥中，底面是一直角梯形，且与底面成角。⑴若为垂足，求证：；

2、⑵求异面直线所成角的大小。解：⑴证明：，再由,得⑵如图三所示设分别为的中点，连结。为平行四边形，分别为的中点，则或它的补角就是异面直线所成角，而。在中，由余弦定理可得所以，异面直线所成角的大小为。法二：以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，所以，异面直线所成角的大小为。3.已知四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点。⑴求证：；⑵求与平面所成角的大小；⑶求二面角的大小。解析：法一：⑴如图四所示，取的中点，连接又因为所以四边形是平行四边形，。又，。⑵连结所成的角。在。即所成角的大小为。⑶作。由三垂线定理，得

3、是二面角的平面角。由所以，二面角的大小为。法二：以为原点，如图五所示，建立直角坐标系。则。⑴取的中点，连结又，。⑵由题意可得，设平面的一个法向量是。即所成角的大小为。⑶设平面的一个法向量为则由⑵可得平面的一个法向量是。。所以，二面角的大小为。4.（07福建）如图六所示正三棱柱的所有棱长都为2，⑴求证：⑵求二面角的大小。解析：⑴取中点，连结。因为是正三角形，因为在正三棱柱，平面。连结在正方形中，O，D分别为的中点。在正方形中，取为原点，的方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系。则⑵设平面的法向量为。令为平面的一个法向量。

4、由⑴知，所以，二面角的大小。直接法设与交于G，在平面中，作于F，连结AF由（1）得是二面角的平面角。在中由等面积可求得又所以，二面角的大小为。