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1、D1、AABC中,AB=4,AC=4^2,ABAC=45a,以AC的中线BD为折痕，将MBD沿BD折起,构成二而角A-BD-C.在而bCQ内作CE丄CD,且CE=a/L(I)求证：CE〃平［ftABD;(II)如果二面角A-BD-C的大小为90°,求二面角B-AC-E的余弦值.2、如图，四边形ABCD为正方形，PD丄平面ABCD,QA=AB=-PD.2⑴证明：平面PQC丄平IfilDCQ;⑵求二而角Q-CP-D的余弦值.3、如图，在四棱锥P-ABCD^tPA丄底而ABCD,AB丄AD,AC丄CD,ZABC=60°fPA=AB=BCfE是P
2、C的屮点.(1)证明CD丄AE-,(2)证明PD丄平面ABE;(3)求二而角A-PD-C的正切值.4、如图,三棱锥P-ABC中，ZACB二90°,PA丄底面ABC.(D求证:平面PAC丄平面PBC;(II)若AC=BC=PA,M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.5、己知四棱锥P—ABCD,PA丄底面ABCD,AD//BC.AB丄与BD交于点、O,又PA=3,AD=2,AB=2希,BC=6,(I)求证：BD丄平面PAC;(II)求二面角O—PB—A的余•弦值.参考答案1、【答案】解：⑴由=4MC=4^2,ZBAC=45°得BC
3、=4,所以ABC为等腰在角三角形，由Q为AC的中点得BD丄AC,以AC的中线BD为折痕翻折后仍有BD丄CD,因为CE丄CD,所以CE//BD，又CEu平面ABD,BDu平面ABD,所以CE〃平面ABD.C⑵如果二面角A-BD-C的大小为90：,由AD丄得AD丄平面BDC,因此AD丄C£,乂CE丄CD,所以CE丄平面ACD，从•而CE丄4C・由题意AD=DC=2近，所以RtADC中，AC=4・设BC中点为F,因为AB=BC=4,所以BF丄AC,且BF=2爺，设AE中点为G，则FG//CE，由CE丄AC得FG丄AC,所以ZBFG为二面角B
4、-AC-E的平而角，连结BG,在BCE屮，因为BC=^CE=V2,ZBCE=135J,所以BE=>/26.在RtDCE中QE=J(2血尸+(血尸=皿，于是在RtADE中，AE=7(2^2)2+(V10)2=3V2.在11133MBE中,BG2=-AB2+-BE2一一AE2=—，所以在BFG22421O13312/y広中，cosZBFG=——2__=-±-.因此二面角B-AC-E的余弦值为-—•2・2巧也3322、PD丄面4BCD,PD丄CD,乂CD丄AD【答案】⑴•••CD丄面D4°F,・・・CD丄PQ,又戶°丄DQ口PQ丄面CQ
5、Q,PQu面PCQ・••面PQC丄血DCQ.⑵过Q作Q0丄PQ交于点0,过0作0M丄PC交于点M.则乙0MQ是二面角的平面/(].cosZOMQ=V63、【答案】解答：（1）证明：在四棱锥P-ABCD^f因PA丄底IfilABCD,CDu平面ABCD，故PA丄CD.VAC丄CDPACAC=At:.CD丄平而PAC.而AEu平面PAC,.ICD丄AE.（II）证明：由PA=AB=BC,ZABC=60°,可得AC=PA.•・・E是PC的中点,AAE丄PC.由（I）知，AE丄CD,RPCnCD=C，所以AE丄平面PCD.而PDu平而PCD,:
6、.AE丄PD.・・•PA丄底面ABCD,PD在底面ABCD内的射影是ADfAB丄AD,AB丄PQ.乂ABCAE=Af综上得PD丄平面ABE.（III）解法一：过点A作4M1PD,垂足为M,连结EM•则（II）知，AE丄平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则EM丄PD.因此ZAME是二而角A-PD-C的平而角.由已知，得ACAD=30°.设AC=a,可得PApAD=^a,PD鲁a,AE=^a.在RtA/lDP'ISTAM丄PD,：•AM^PD=PA^AD,PA^AD则必pd2巧Cl3V21a32^7a.7在RtZXAEM中，sin
7、AME=AEVf44所以二面角A-PD-C的正切值为V7.解法二：由题设P4丄底面ABCD,PAu平面PAD,则平面PAD丄平面ACD,交线为AD.过点C作CF丄AD,垂足为F,故CF丄平而PAD.过点F作FM丄PD,垂足为M,连结CM,故CM丄PD•因此ZCMP是二而角A-PD-C的平而角.由已知，可得ACAD=30°，设AC=af7/3r)1/o可得PA=ci,AD=a,PD=a,CF=_a,FD=—a.3326PMFD•:HFMDs^PAD,:.——=——.PAPDT.lf刖f_fd・pa丁疋，FM==—j=—=ci•PD7211
8、4a31厂FaARtACMF中,tanCA/F=—==V7.FMV7——a14所以二血角A-PD-C的正切值是V7•解：《I〉因为pi［底［fiizi/JC・所以〃「丄斤
9、・又因为厶HE=90
