立体几何专题——空间角.doc

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1、立体几何专题：空间角第一节：异面直线所成的角一、基础知识1.定义：直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a΄//a，b΄//b，相交直线a΄b΄所成的锐角（或直角）叫做。2.范围：3.方法：平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式求出来方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出，，代入上式方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量（3）三线角公式用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与

2、斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦即：二、例题讲练例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为例2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=，BC=,AA1=c，求异面直线D1B和AC所成的角的余弦值。方法一：过B点作AC的平行线（补形平移法）方法二：过AC的中点作BD1平行线方法三：（向量法）例3、已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点（Ⅰ）证明：面面；（Ⅱ）求与所成的角；例4、如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点求直线与所成角的余弦值；训练题1.正方体的12条棱和1

3、2条面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是。2.正方体中，O是底面ABCD的中心，则OA1和BD1所成角的大小为。3.已知为异面直线a与b的公垂线，点，若a、b间距离为2，点P到的距离为2，P到b的距离为，则异面直线a与b所成的角为。4.如图正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与CN所成角为。5.如图PD平面ABCD,四边形ABCD为矩形，AB=2AD=2DP，E为CD中点。（1）与BE所成的角为（2）若直线PD，且AF与BE所成角为1.=30˚行吗？2.=75˚时；=。6.空间四边形ABCD中，对角

4、线AC，BD与各边长均为1，O为的重心，M是AC的中点，E是AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角。7.空间四边形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120˚，ABCD，M、N分别是中点（1）AC和BD所成的角为　　　。（2）MN与BC所成的角为　　　　。8.已知正方体AC1中，（1）E、F分别是A1D1，A1C1的中点，则AE与CF所成的角为　　　　（2）M、N分别是AA1，BB1的中点，则CM和D1N所成的角是　　　。9、如图，三棱锥P—ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB．(I)求证：AB平面PCB

5、；(II)求异面直线AP与BC所成角的大小；（）第二节、直线和平面所成的角一、基础知识1.定义：（①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③）2.直线与平面所成角范围是　　　　　　　。3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）4.求法：几何法　公式法　问量法（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。（2）公式法：（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）（3）向量法：设直线与平面所成角为，直线的方向向量与面的法向量分别是,则的余角或其补角的余角即为

6、与所成的角，二、例题讲解例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求（1）CD与面ABC1D1所成的角（2）A1C与平面ABC1D1所成的角（3）A1C与平面BC1D所成的角例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值。例3、四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面．已知，，，．（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．例4、如图,是互相垂直的异面直线，M、N分别在上，且MN，MN，点AB在上，C在上，AM=MB=MN。（1）证明：ACNB（2）若ABC=60˚，求NB与平面ABC所成角的余弦值。训练题1、（20

7、08年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为三角形ABC的中心，则AB1与底面ABC所成的角的正弦值等于2、（2008上海高考）如图，在棱长为2的正方体中，是的中点。求直线与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.AEB1D1DC1A1BC3、过点P作平面的两条斜线段PA和PB，则PA=PB是斜线PA和PB与平面成等角的条件。4、如图所示，BOC在平面内，OA是的斜线，AOB=AOC=60˚，OA=OB=OC=a，BC=a，求OA和平面所成的角的大小。5、如图，已知正方形ABCD，SA现面ABCD，且SA

8、=AB，M