3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示[1]

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1、3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示1、平面向量基本定理？2、平面向量的正交分解？3、平面向量的坐标表示？在空间中，能得出类似的结论？复习引入任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。一、空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做基向量xyzOQP由此可知，如果是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个有序实数组{x,y,z}使得我们称为向量在上的分向量。这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解.二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标

2、单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3表示xyzOA(x,y,z)e1e2e3空间向量的直角坐标：给定一个空间坐标系和向量,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使p=xe1+ye2+ze3有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O--xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC

3、，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ空间向量基本定理的考查例1例2、1、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)则的坐标为。2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为，关于原点的对称点为，关于轴的对称点为，空间直角坐标的考查空间向量运算的坐标表示,则设一、向量的直角坐标运算若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(

4、x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.二、距离与夹角的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。在空间直角坐标系中，已知　　　　　　、，则（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：（1）当　　　　　　时，　　　同向；（2）当　　　　　　时，　　　反向；（3）当　　　　　　时，　　　。解：设正方体的棱长为1，如图建立空间

5、直角坐标系　　　　，则例1如图,在正方体　　　　　　　中，，求　　与　　所成的角的余弦值.证明:设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系xyzA1D1C1B1ACBDFE小结：1、空间向量的坐标运算；2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。