陈尧明解决不良结构数学问题的几种常见策略

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1、例析补偿原理在解决不良结构数学问题中的运用浙江省上虞市教研室陈尧明312300摘要：数学问题可分为结构良好问题和结构不良问题。所谓数学问题的编制或创新，本质上说视角的转换，命题者通过条件的衰减，有时故意破坏良好结构，常规的解题套路得以规避，以此来考量学生的数学综合能力。本文例举四类不良结构，试图从结构出发来给我们学生解题以启发。关键词：数学问题良好结构迁移缺陷著名数学教育家波利亚曾说过：问题是数学的心脏．问题可分为结构良好问题和结构不良问题，在中学数学解题中大量出现的是结构良好的数学问题．所谓结构良好，是指提供的信息完整，数学结构（研究对象、输血过

2、程）理想，问题目标明确，解决过程和答案稳定，也就是我们常说的理想模型．结构良好和结构不良是一个相对的概念．结构不良一般分为结构缺陷和结构复杂两类．在解决不良数学问题过程中往往能体现一个人的各种能力，如学习的迁移能力，即完成从非理想模型向理想模型的迁移；思维的变通能力，即能够完成把不良结构变通为良好结构等等．也正因为如此，当今高考的能力立意就是要完成从结构良好数学问题的考查向结构不良数学问题的考查，也正基于此，不良结构问题往往被命题者作为测量被试的“成功智力”或者问题解决能力的工具，以达到试题具有良好“区分度”的目的．中学数学教学中，我们应该努力寻求

3、解决不良结构数学问题的方法，其中补偿法是一种常用的方法．应用补偿法一般可解决下面4类缺陷问题．1．物理性缺陷问题------物理割补等效运算所谓物理性缺陷是指数学解题对象在空间上与理想的数学模型存在一定的缺陷．补偿法就是经物理性割补使之成为一个完整的理想结构，找出缺陷结构与理想结构之间的差异，再用有关的性质、原理求解，从而得到正确的结论．此类结构不良问题在立体几何中比较常见．例1（2009年的浙江高考理科第17题）如图5，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是．【分析

4、】此题当年是评价较高的一道题，它是以折叠为大背景，但高考试题命题者一方面将固定的折叠模式改成了动态（即折痕的变化）的折叠；另一方面，将立几中的三角关系中的三个角处在“反置”的背景下，使人的直观视角成思维障碍，与平时“中规中矩”的立几理想模型形成反差．事实上我们只要将图形作的转换，这个问题就成为一个很显然的问题了．当然，立几中有许多题目都可通过割补来完成不良结构向良好结构的转换，所谓补形实际上就是基于这样的机理．例2（2010年浙江省理科16题）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________________．.【分析】本题

5、考查向量的数量积的意义及向量减法的几何意义，向量、及都是动态的，三者的题干架构所显现的数学模型并非一目了然．倘若我们作一个“弓形”的结构补偿，考虑到向量与的夹角为120°，那么设想向量稳定于一个半径为圆的一条弦（如图），于是的长就是一条动弦，不难求得．2．情境性缺陷问题-----返璞归真技术补偿所谓情景性缺陷是指实际问题条件与使用条件之间的差异形成的缺陷．良好结构的数学问题他的条件是有序的、正定的，但实际问题条件往往是无序的、离散的．为此碰到这种原理性缺陷问题时，可以通过画图像、画表格等数学技术手段进行补偿，使问题呈现良好的有序结构，返璞归真．例3

6、（2010年高考浙江卷17）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上下午都各测试一人，则不同的安排方式共有种.【分析】此题是个排列组合实际应用题，但它的呈现与我们平时训练的排列组合题不同，也就是说实际问题条件与原来使用条件之间的差异形成了情景性的缺陷，即不可直接套用排列组合公式.它涉及到的参数多（人数、时间、项目）、参数之间“纠缠”多（上午不能测什么、下午不能测什么）、参数限制条件多（

7、上下午都个测试一人），条件显得无序、离散.如果我们将条件通过列表格的技术手段作一梳理，让条件有序、规范，那我们要的数学模型（错排）会自动呈现出来.项目身高与体重立定跳远肺活量握力台阶上午／下午∕不妨记4个同学为、、、.首先由于上午不测“握力”，共有种可能，比如“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”分别是、、、.下午分两种情形：①若上午测“台阶”的同学，下午刚好测“握力”，那么另外三同学就是一个3阶错排即2种情况；②若上午测“台阶”的同学下午不测“握力”，那从“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”三项中任选一项，有中选法，比如选同学选“

8、握力”，那么同学、的选择又是一个2阶错排（如上表）.于是总的不同安排方式共有：种.例4（2008年浙江卷理科第10题）如图