专题一：含参数问题的恒成立问题

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1、专题一：含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。(一)、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。类型1:一般地，对于二次函数,有(1）对恒成立

2、;(2）对恒成立类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例1．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。例2．一元二次不等式在上恒成立，求实数的取值范围。答案4(二)、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：(1）恒成立(2）恒成立例3．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。答案例4．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。答案:(三)、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围

3、。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：(1）恒成立(2）恒成立实际上，上题就可利用此法解决。略解：在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。4例5．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。（四）、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例6、若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不

4、等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。练习：对任意，不等式恒成立，求的取值范围。分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。解：令，则原问题转化为恒成立（）。当时，可得，不合题意。当时，应有解之得。故的取值范围为。4反思：对于一次函数有：（五）、数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1）函数图象恒

5、在函数图象上方；2）函数图象恒在函数图象下上方。例7．设,,若恒有成立,求实数的取值范围.巩固练习1、求使不等式恒成立的实数a的范围。（）2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。（）3、当x(1,2)时，不等式恒成立，求的取值范围。（1