大学数学论文new

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1、抽屉原理及其应用学生姓名：闫梦茹学号：20090401017数学与计算机科学系数学与应用数学专业指导教师：沈守强职称：讲师摘要：抽屉原理是数学中一个十分重要的原理，其应用非常广泛.本文首先给出了抽屉原理的一些形式，然后讨论了它在数学中和生活中的一些具体应用.关键词：抽屉原理；数学；应用Abstract：Drawerprincipleisanimportantprincipleinmathematics,itsapplicationisveryextensive.Thispapergivessomeformofdrawerprincipl

2、e,andthendiscussesitinmathematicsandthelifeofsomespecificapplication.KeyWords:Drawerprinciple;Mathematics;Application引言抽屉原理又称鸽巢原理、鞋盒原理、重叠原理，它最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此也称为狄利克雷原理.比如说，桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果.这一现象就是我们所说的“抽屉原理”.抽屉原理的内容简洁明了，易于接受，它在解决数学

3、问题中有非常重要的作用，许多生活中的问题也可以用它来解决.为此，本文首先给出了抽屉原理的一些形式，然后讨论了它在近世代数、离散数学、数论、高等代数及几何中的具体应用，最后还利用抽屉原理解决了生活中的取同色衣服、电脑算命及握手问题.1.抽屉原理1.1抽屉原理的形式原理1如果把个元素分到个集合中，那么不管怎么分，则必有一个集合中至少含有两个元素.证明用反证法.如果个集合中每个集合至多放一个元素，则放入个集合中的元素总数至多为个.这与假设有个元素矛盾，从而定理得证.13原理2把无穷多个元素按任意确定方式分成个集合，则至少有一个集合中仍含有无穷

4、个元素.原理3(鸽巢原理）设为正整数，如果将个物体放入个盒子内，那么，或者第一个盒子至少含有个物体，或者第二个盒子至少含有个物体,，或者第个盒子至少含有个物体.证明设将个物体分放到个盒子中，若对于每个第个盒子里含有少于个物体，则所有盒子中的物体总数不超过该数比所分发的物体总数少.因此，我们断言，对于某一个，第个盒子至少包含个物体.在初等数学中，如果上述都等于同一个整数时，该原理叙述如下：推论1如果个物体放入个盒子中，那么，至少有一个盒子含有个或更多的物体.推论2如果个非负整数的平均数大于,那么，至少有一个整数大于或等于.推论3如果个非负

5、整数的平均数小于，那么，至少有一个整数小于或等于.推论4如果个非负整数的平均数至少等于,那么，这个整数至少有一个满足.推广如果把多于个元素分成个集合，则至少有一个集合中含有不少于个元素.证明用反证法.如果每个集合至多放个元素，那么个集合至多放个元素，这与题设不符，从而定理得证.原理4（抽屉原理的映射形式）设和是两个有限集，如果13，那么对从到的任何满映射，至少存在，使.1.2抽屉原理的解题步骤第一步：分析题意.分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”.第二步：制造抽屉.这是最关键的一步，这一步就是如何设

6、计抽屉.根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需要的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路.通常有以下三种构造抽屉的方法：(ⅰ)整除性问题：常以剩余类为抽屉；(ⅱ)集合问题：常以元素的性质划分集合构造抽屉；(ⅲ)其他问题：常将状态不同的元素分类构造抽屉.第三步：运用抽屉原理.观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求解决问题.2.抽屉原理在数学中的应用一般地说，用抽屉原理来解决数学问题的时候，有如下特征：新给的元素具有任意性，如八只鸽子放入七个笼子，可以随意地一个笼子放几只，

7、也可以让笼子空着.问题的结论是存在性命题，题中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定.下面来讨论抽屉原理在数学中的具体应用.2.1在近世代数中的应用例1证明只含有限个理想的非零整环必是域.证明根据魏德邦定理，只需证明是除环即可.也即证对中任意元素，方程或在中有解.事实上，在中任取元素，考虑，，易知，都是的理想.但由于整环只有有限个理想，根据抽屉原理，必存在正整数与满足，从而存在,使或13.即方程在中有解,根据定理，是除环.由魏德邦定理，原命题得证.例2从阶群中任

8、取个元素，证明存在使（单位元）.证明因为.用所取元素的积及作序列：（1）则它的项都是的元素.根据抽屉原理，序列（1）中必有两项相等.如果，此时，符合要求，否则有.于是有.取，有,使.2.2在离散数学中的应用