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1、抽屉原理及其应用学生姓名：闫梦茹学号：20090401017数学与计算机科学系数学与应用数学专业指导教师：沈守强职称：讲师摘要：抽屉原理是数学中一个十分重要的原理，其应用非常广泛.本文首先给出了抽屉原理的一些形式，然后讨论了它在数学中和生活中的一些具体应用.关键词：抽屉原理；数学；应用Abstract：Drawerprincipleisanimportantprincipleinmathematics,itsapplicationisveryextensive.Thispapergivessome
2、formofdrawerprinciple,andthendiscussesitinmathematicsandthelifeofsomespecificapplication.KeyWords:Drawerprinciple;Mathematics;Application引言抽屉原理乂称鸽巢原理、鞋盒原理、重叠原理，它最先是由徳国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此也称为狄利克雷原理.比如说，桌上有十个苹杲，耍把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果•这
3、一现象就是我们所说的“抽屉原理”•抽屉原理的内容简洁明T,易于接受，它在解决数学问题中有非常重要的作用，许多生活中的问题也可以用它来解决•为此，本文首先给出了抽屉原理的一些形式，然后讨论了它在近世代数、离散数学、数论、高等代数及儿何屮的具体应用，最后还利用抽屉原理解决了生活屮的取同色衣服、电脑算命及握手问题.1.抽屉原理rm1.1抽屉原理的形式原理1如果把/7+1个元素分到斤个集合中，那么不管怎么分，则必有一个集合中至少含有两个元素.证明用反证法.如果〃个集合中每个集合至多放一个元素，则放入巾个集
4、合屮的元素总数至多为〃个.这与假设有n+1个元素矛盾，从而定理得证.原理2把无穷多个元素按任意确定方式分成〃个集合，则至少有一个集合中仍含有无穷个元素.原理3（鸽巢原理）设如皿,…，么为正整数，如果将4+§2+…+么-舁+1个物体放入77个盒子内，那么，或者笫一个盒子至少含有4个物体，或者第二个盒子至少含有①个物体，…，或者第拜个盒子至少含有绻个物体.证明设将％+02+…+q+1个物体分放到n个盒了中,若对于每个i=1,2,...,n,第i个盒子里含有少于G个物体,则所有盒子U•的物体总数不超过（
5、%一1）+（02_1）+…+（么_1）=%+$2+%_n该数比所分发的物体总数少1・因此，我们断言，对于某一个心1,2,・・・‘，第，个盒子至少包含乞•个物体.在初等数学中，如果上述q,q“・q都等于同一个整数厂时，该原理叙述如下：推论1如果n（r-l）+l个物体放入〃个盒子屮，那么，至少有一个盒子含有广个或更多的物体.推论2如果〃个非负整数"，叫，…，叫的平均数大于—1,那么，至少有一个整数大于或等于厂.推论3如果〃个非负整数g,叫,…，叫的平均数小于厂+1,那么，至少有一个整数小于或等于厂推
6、论4如果〃个非负整数为叫…，叫的平均数至少等于r,那么，这〃个整数“，叫…，叫至少有一个满足“>r.推广如果把多于刖7+1个元索分成农个集合，则至少有一个集合屮含有不少于加+1个元素.证明用反证法.如果每个集合至多放加个元素，那么斤个集合至多放加2个元素，这与题设不符，从而定理得证.原理4(抽屉原理的映射形式)设A和B是两个有限集，如果
7、A
8、>
9、B
10、,那么对从A到〃的任何满映射厂至少存在°］卫2，使f(a})=/(a2).1.2抽屉原理的解题步骤第一步：分析题意.分清什么是“东西”，什么是“抽屉”
11、，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”・第二步：制造抽屉.这是最关键的一步，这一步就是如何设计抽屉•根据题口条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基木的数量关系，设计和确定解决问题所需要的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路•通常有以下三种构造抽屉的方法：(i)整除性问题：常以剩余类为抽屉；(ii)集合问题：常以元索的性质划分集合构造抽屉；(iii)其他问题：常将状态不同的元素分类构造抽屉.第三步：运用抽屉原理•观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用儿个原则，以求解决问题.2.抽屉原理
12、在数学中的应用一般地说，用抽屉原理来解决数学问题的时候，有如下特征：新给的元素具有任意性，如八只鸽子放入七个笼子，可以随意地一个笼子放儿只，也可以让笼了空着•问题的结论是存在性命题，题中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定•下面来讨论抽屉原理在数学中的具体应用.2.1在近世代数中的应用例1证明只含有限个理想的非零整环R必是域.证明根据魏德邦定理，只需证明是除环即可.也即证对/?中任意元素a工0,",方程or
