2.5.2 矩形的判定

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1、2.5.2矩形的判定矩形的四个角都是直角，那么，四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？动脑筋如图，四边形ABCD的四个角都是直角.由于“同旁内角互补，两直线平行”，因此AB∥DC,AD∥BC,从而四边形ABCD是平行四边形.所以□ABCD是矩形.由此得到四个角是直角的四边形是矩形.三个角是直角的四边形，容易知道另一个角是直角，由此得到：三个角是直角的四边形是矩形.四边形中只有两个角是直角三角形，我想到右边的图形：从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个对角线长度为4cm的矩形吗？这样的矩形有多少个？过点O画两条线段AC,BD，使得OA=

2、OC=2cm.OB=OD=2cm.连接AB,BC,CD,DA.则四边形ABCD是矩形，且它的对角线长度为4cm，如图，这样的矩形有无穷多个.你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？动脑筋如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？我们来进行证明.在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.又∵∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=90°.∴□ABCD是矩形.由此得到矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.议一议：

3、对角线相等的四边形是矩形？例如图，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O.（1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？解（1）∵□ABCD是矩形，∴AC与DB相等且互相平分.∴OB=DB=AC=OC.∴△OBC是等腰三角形.（2）∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，∴AC=2OC=2OB=BD.∴□ABCD是矩形.练习1.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D,求证：四边形ABCD是矩形.解：∵∠A=∠B=∠C=∠D,且∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90

4、°.∴四边形ABCD是矩形.2.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,∠AOB=60°，AB=2，AC=4，求□ABCD的面积.解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=AC=2.∵∠AOB=60°，AB=2,∴△AOB是等边三角形.∴OB=OA=OD=OC.∴□ABCD是矩形.∴∠ABC=90°.∴∴矩形ABCD的面积是2×=4.这节课我们学习了矩形的判定：1.三角形是直角的四边形是矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.数学让生活更美下次再见