如何求三角函数的最值

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1、三角函数的最值问题三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这类问题不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图像和三角函数的恒等变形，而且还常涉及到函数、不等式、方程、几何等众多知识，其概念性强，具有一定的综合性和灵活性。而解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（

2、二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一、配方法：形如y=asin2x+bcosx+c型的函数　　特点是含有sinx,cosx，并且其中一个是二次，处理方式是应用sin2x+cos2x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用配方或换元法，转化成二次函数来求解。例1函数的最小值为（）.A．2B.0C.D.6[分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得,当t=1时,即cosx=1时，,选B.例2求函数y=5sinx+cos2x

3、的最值[分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。二、引入辅助角法：形如y=asinx+bcosx型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+φ)，其中例3求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。[分析]此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。解：y=si

4、n2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x　　　　=2+sin(2x+)　　当sin(2x+)=-1时，y取最小值2-，此时x的集合{x

5、x=kπ-π,k∈Z}.例4已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。[分析]在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。解：f(x)的最小正周期为，最大值为。三、利用三角函数的

6、有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。例5求函数的值域[分析]此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为，可直接得到：或解法一：原函数变形为或四、引入参数法（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式一般都可采用换元

7、法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。例6求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。[分析]解：令sinx+cosx=t，则，其中当五、利用函数在区间内的单调性例7已知，求函数的最小值。[分析]此题为型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。六、分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。例8设，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx

8、=t,则（1）当，即在[0，1]上递增，（2）当即时，在[0，1]上先增后减，（3）当即在[0，1]上递减，以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。