三角函数求最值的归类研究.doc

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1、三角函数求最值的归类研究何爽求函数的最人值与最小值是高屮数学屮的重要内容，也是高考屮的常见题型，本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。一、化成y=4sin(oc+0)的形式例1.在直角三角形屮，两锐角为A和B,求sinAsinB的最大值。7T1解：sinAsinB=sinAsin(A)=sin4cosA=—sin2A22TTTTI由0vAv—,得0则当A=-时，sinAsinB有最人值一。上的最犬值和最小值。242例2.求函数/(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4兀在解：/(x)=cos4x-2sinx

2、cosx-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=-V2sin(2x-—)4[c,/兀zm兀丿f713/rV2.71由05x5—,得<2x<——、

3、过图象加以解决。例2屮,不难看出TT应注意此题容易把两个边界的函数值/(—)和/(())«认为是最人值和最小值。2_"上ccosx+d“计»二、形如y=的形式dsinx+方例3.求函数y=-SH1A-1的最人值和最小值。cosx-2解：由已知得ycosx-2y=sinx-l,即sinx-ycosx=1-2y,J)，+1-sin(x+^?)=1-2y,所以sin(x+")=

4、2〉即3几4円,解得g冷max4=0［点评］上述利用正(余)弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。虽然本题可以使用万能公式，也

5、可以利用圆的参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。有兴趣的同学不妨试试其他解法。一w丄csmx+d,z.rrz.二、形女ny=的形式asinx+b例4.求函数y=°・的最人值和最小值。sinx-2“3-2sinx2sinx-32(sinx-2)+11解：y===:=2sin^-2sin^-2sin兀一2sinx-2由一lmax=-

6、yJmin=_~［点评］此题是利用了分离分母的方法求解的。

7、若用例3的解法同样可求，有兴趣的同学不妨试一下，并作解法对比。四、形如y=sin«r+——的形式sinx2例5・y=sinx+———(02Jsinx.^-=2^2,可得最小值2血是错课的。sinxVsinx2这是因为当等号成立时，sinx=-—,sinx即sinx=V2>1是不可能的。若把此题改为y=sinx+丄(0

8、)就可以用不sinx等式法求解了，同学们不妨琢磨一下。五、利用sincz与cosa之间的关系例6.求函数y=sina*-cosx+sinxcosx的最大值和最小值。解：设/=sinx-cosx=V2sin(x-—),2］_厂则一V2

9、o［点评］sina+cosa,sina-cosa,sinacosa这三者之间有着相互制约,不可分割的密切联系。sinacosa是纽带，三者之间知其一，可

10、求其二。令t=sinx-cosx换元后依题意可灵活使用配方法、重要不等式、函数的单调性等方法來求函数的最值。应该注意的是求三角函数的最值方法有多种，像配方法、不等式法等，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨自己探讨一下。练一练：1.求函数y=2sin^(sinx+cosx)的最大值和最小值。2.求函数y=3-cosx-sin2x的最大值和最小值。TT7T3.已知兀w——，一,求函数y=(sinx+l)(cosx+1)的最大值和最小值。62答案：1・儿严血+1，畑=1一"(提示：由y=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+si

11、n2x=V2sin(2x-—)+1)4,72->max=4，ymin=~—29177(提示：由y=3-cos兀一(1-cos~x)=cos~无一cos兀+2=(cosx——广+—)243+2V2“_2+V3—-—，=4(提示：令/二sinx+cos