高中数学解题思路大全—三角函数求最值的归类研究

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1、快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM三角函数求最值的归类研究求函数的最大值与最小值是高中数学中的重要内容，也是高考中的常见题型，本文对三角函数的求最值问题进行归类研究，供同学们借鉴。一、化成y=Asin(ωx+ϕ)的形式例1.在直角三角形中，两锐角为A和B，求sinAsinB的最大值。π1解：sinAsinB=sinAsin(−A)=sinAcosA=sin2A22ππ1由0

2、数f(x)=cosx−2sinxcosx−sinx在0，上的最大值和最小值。⎢⎥⎣2⎦解：44f(x)=cosx−2sinxcosx−sinx2222=(cosx+sinx)(cosx−sinx)−sin2x=cos2x−sin2xπ=−2sin(2x−)4πππ3π2π由0≤x≤，得−≤2x−≤，−≤sin(2x−)≤1，244424π得−2≤−2sin(2x−)≤1，43π则当x=0时，f(x)=1；当x=时，f(x)=−2maxmin8［点评］这类题目解决的思路是把问题化归为f(x)=Asin(ωx+ϕ)+k的

3、形式，一般而言，f(x)=A+k，f(x)=−A+k，但若附加了x的取值范围，最好的方法是通过图象加以解决。maxminπ⎡π3π⎤例2中，令u=2x−，画出sinu在−，上的图象（如图1），⎢⎥4⎣44⎦快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM图122π不难看出−≤sinu≤1，即−≤sin(2x−)≤1。224π应注意此题容易把两个边界的函数值f()和f(0)误认为是最大

4、值和最小值。2ccosx+d二、形如y=的形式asinx+bsinx−1例3.求函数y=的最大值和最小值。cosx−2解：由已知得ycosx−2y=sinx−1，2即sinx−ycosx=1−2y，y+1⋅sin(x+ϕ)=1−2y，1−2y所以sin(x+ϕ)=2y+11−2y因sin(x+ϕ)≤1，≤1，2y+124即3y−4y≤0，解得0≤y≤，34故y=，y=0maxmin3［点评］上述利用正（余）弦函数的有界性，转化为以函数y为主元的不等式，是解决这类问题的最佳方法。虽然本题可以使用万能公式，也可以利用圆的

5、参数方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法简单易行。有兴趣的同学不妨试一试其他解法。csinx+d三、形如y=的形式asinx+b3−2sinx例4.求函数y=的最大值和最小值。sinx−2快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM快乐阅读网WWW.ZUOWENW.COM最新最全的考试资源网站WWW.ZUOWENW.COM3−2sinx2sinx−32(sinx−2)+11解：y==−=−=−−2sinx−2sinx−2sinx−2sinx−211由−1≤sinx≤1

6、，得−3≤sinx−2≤−1，−1≤≤−，sinx−231151≤−≤1，即−≤−−2≤−13sinx−23sinx−25∴y=−1，y=−maxmin3［点评］此题是利用了分离分母的方法求解的。若用例3的解法同样可求，有兴趣的同学不妨试一下，并作解法对比。a四、形如y=sinx+的形式sinx2例5.求y=sinx+(0

7、1+=3min122［点评］若由sinx+≥2sinx⋅=22，可得最小值22是错误的。sinxsinx2这是因为当等号成立时，sinx=，sinx1即sinx=2>1是不可能的。若把此题改为y=sinx+(0

8、sx+sinxcosx的最大值和最小值。π解：设t=sinx−cosx=2sin(x−)，421−t则−2≤t≤2，且sinxcosx=。221−t12由于y=t+=−(t−1)+1，221故当t=1时，y=1；当t=−2时，y=−2−。maxmin2［点评］sinα+cosα，sinα−cosα，sinαcosα这三者之间有着相互制约，不可分