高中数学 立几中的最值问题四则解题思路大全

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1、立几中的最值问题四则1.用配方法求距离的最值例1.如图1，正方形ABCD、ABEF边长都是1，且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若。试求当a为何值时，MN的值最小。图1分析：此题的解题关键是想用含a的代数式表示距离，再用配方法求最值。解：过M作，垂足为H，连结NH，如图1所示。在正方形ABCD中，，所以，因为平面平面AE，所以平面AE，即。因为，所以即，，由余弦定理求得。所以当时，，即M、N分别移到AC、BF的中点时，MN的值最小，最小值为2.结合实际找最值位置例2.在一张硬纸上，抠去

2、一个半径为的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为4，高为6的正三棱锥A—BCD上，并使纸面与锥面平行，则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是________。图2解：如图2所示，假设硬纸上的圆洞刚好卡在B'C'D'处。设正三棱锥的顶点A在平面BCD上的射影为A'，在平面B'C'D'上的射影为O。连结BA'、B'O并延长分别交CD、C'D'于E、E'点，则平面平面BCD，所以，，即。又因为，所以又，所以，即能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是。3.利用函数的有界性求体积最值例3.如图3，已知在中，，平面ABC，于E，于F，，，当

3、变化时，求三棱锥体积的最大值。图3解：因为平面ABC平面ABC，所以又因为，所以平面PAC，又平面PAC，所以，又，所以平面PBC，即。EF是AE在平面PBC上的射影，因为，所以，即平面AEF。在三棱锥中，，所以，因为，所以因此，当时，取得最大值为。4.结合图形列方程求解。例4.棱长为2cm的正方体容器盛满水，把半径为1cm的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？图4解：过正方形对角线的截面图如图4所示。，设小球的半径为r。在，，所以，解得，为所求。