最值问题解题思路奥数.doc

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1、马到成功奥数专题:离散最值引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：　　1.着眼于极端情形；　　2.分析推理——确定最值；　　3.枚举比较——确定最值；4.估计并构造。离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。  一、        从极端情形入手从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。题目1.     一个布袋中有红、

2、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？解：假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7÷2=3……1，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之

3、和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。题目2.     有13个不同正整数，它们的和是100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？解：①2+4+6+8+10+12+14+16=72 还要有5个奇数，但和是奇数，100是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17，最多有7个偶数。②1+3+5+7+9+11+13+15=64 还要5个偶数，100-64=36 36=2+4+6+8+16最少有5个偶数。 题目3.     一种小型天

4、平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。解：要能称出1克到91克的任意一种整数克重量，要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克，它们的和是91，这样即可。需要9+1+1+2=13个。题目4.     一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？ 222222-70000*3=12222 按下了3个7  122

5、22-7000*1=5222 按下了1个75222-700*7=322  按下了7个7   322-70*4=42 按下了4个7  42-7*6=0  按下了6个7。 3+1+7+4+6=21次 二、枚举法与逐步调整当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目5.     将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？解：要使乘积最小，

6、就要每个数尽可能小。对于10，旁边添6和7，这样积小一些。于是有两种添法：----------------------------------------------题目6.     某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？解法1：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：　　　　由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。　　说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言

7、的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。　　解法2：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此　　车开出时人数=（以前的站数+1）×以后站数　　=站号×（15-站号）。　　因此只要比较下列数的大小：　　1×14，2×13，3×12，4×11，5×10，　　6×9，7×8，8×7，9×6，10×5，　　11×4，12×3，1

8、3×2，14×1。　　由这些数，得知7×8和8×7是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人