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时间:2020-07-05
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1、马到成功奥数专题:离散最值引言:在国内外数学竞赛中,常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题,我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题,尚无统一的方法,对不同的题目要用不同的策略和方法,就具体的题目而言,大致可从以下几个方面着手: 1.着眼于极端情形; 2.分析推理——确定最值; 3.枚举比较——确定最值;4.估计并构造。离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中,学好它可为解决数论,计数,应用问题等打下扎实的基础。 一、 从极端情形入手从极端情形入手,着眼于极端情形,是求解最值问题的有效手段。题目1. 一个布袋中有红、
2、黄、绿三种颜色的小球各10个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的?解:假设摸出的8个球全是红球,则数字之和为(4×8=)32,与实际的和39相差7,这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球,数字和可增加(6-4=)2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加(5-4=)1。为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在7÷2=3……1,因此可用3个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样8个球的数字之
3、和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39,其中最多可能有(8-3-1=)4个是红球。题目2. 有13个不同正整数,它们的和是100。问其中偶数最多有多少个?最少有多少个?解:①2+4+6+8+10+12+14+16=72 还要有5个奇数,但和是奇数,100是偶数,所以只能少一个偶数,2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17,最多有7个偶数。②1+3+5+7+9+11+13+15=64 还要5个偶数,100-64=36 36=2+4+6+8+16最少有5个偶数。 题目3. 一种小型天
4、平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量,如果只允许在天平的一端放砝码,那么最少需要准备砝码多少个。解:要能称出1克到91克的任意一种整数克重量,要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克,它们的和是91,这样即可。需要9+1+1+2=13个。题目4. 一台计算器大部分按键失灵,只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用,因此可以输入77,707这样只含数字7和0的数,并且进行加法运算。为了显示出222222,最少要按“7”键多少次? 222222-70000*3=12222 按下了3个7 122
5、22-7000*1=5222 按下了1个75222-700*7=322 按下了7个7 322-70*4=42 按下了4个7 42-7*6=0 按下了6个7。 3+1+7+4+6=21次 二、枚举法与逐步调整当我们在有限数中求最大(或最小)值时,枚举法是常用基本方法之一。这种方法的大意是:将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值;或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。题目5. 将6,7,8,9,10按任意次序写在一个圆周上,每相邻两数相乘,并将所得得5个乘积相加,那么所得和数的最小值是多少?解:要使乘积最小,
6、就要每个数尽可能小。对于10,旁边添6和7,这样积小一些。于是有两种添法:----------------------------------------------题目6. 某公共汽车从起点开往终点站,中途共有13个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有座位,这辆公共汽车至少应有多少个座位?解法1:只需求车上最多有多少人。依题意列表如下: 由上表可见,车上最多有56人,这就是说至少应有56个座位。 说明:本题问句出现了“至少”二字是就座位而言
7、的,座位最少有多少,取决于什么时候车上人数最多,要保证乘客中每人都有座位,应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以,我们不能只看表面现象,误认为有了“至少”就是求最小数,而应该把题意分析清楚后再作判断。 解法2:因为车从某一站开出时,以前各站都有同样多的人数到以后各站(每站1人),这一人数也和本站上车的人数一样多,因此 车开出时人数=(以前的站数+1)×以后站数 =站号×(15-站号)。 因此只要比较下列数的大小: 1×14,2×13,3×12,4×11,5×10, 6×9,7×8,8×7,9×6,10×5, 11×4,12×3,1
8、3×2,14×1。 由这些数,得知7×8和8×7是最大值,也就是车上乘客最多时的人数是56人
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