3、x)与1/f(x)具有相反的单调性.③若函数f(x),g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.⑤复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定(同则增异则减).④奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在对称的区间上有相反的单调性.(2)常见函数的单调性规律总结忆一忆知识要点☞以上规律还可总结为：“同增异减”.增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗增↗减↘复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下：⑤复合
4、函数单调性的判断注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间忆一忆知识要点2.函数的单调性的判定方法：(3)导数法①若f(x)在某个区间内可导，当f'(x)＞0时,f(x)为增函数；当f'(x)＜0时，f(x)为减函数.②若f(x)在某个区间内可导，当f(x)在该区间上递增时，则f'(x)≥0；当f(x)在该区间上递减时，则f'(x)≤0.忆一忆知识要点例1.已知定义在R上的函数y=f(x)满足,f(0)≠0,且当x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b∈R,f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求
5、f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性.一、抽象函数的单调性与最值解:(1)令a=b=0,则任取x1,x2∈R，且x10恒成立.由于当x>0时，f(x)>1,则f(x2)=f[(x2-x1)+x1]>f(x1).即f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数.=f(x2-x1)·f(x1)∴f(x2-x1)>1.【1】若对一切实数x,y都有(1)求f(0)的值;(2)判定f(x)的奇数偶性.令x=y=0,则令y=-x,则故f(x)是奇函数.解
6、:因为对于任何实数x,y都有练一练证明:任取x1,x2∈R，且x10,∴f(x2-x1)>1.=f(x2-x1)-1.∴f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数.【2】若函数f(x)对任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x>0时,有f(x)>1.求证:f(x)是R上的增函数.∴f(x2-x1)-1>0.=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)练一
7、练【3】已知函数f(x)对于任何实数x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)且f(0)≠0．求证:f(x)是偶函数.令x=y=0,则令x=0,则故f(x)是偶函数.解：已知函数f(x)对于任何实数x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，练一练例2.判断函数在区间(-1,1)上的单调性.解:设则f(x1)－f(x2)∵－1＜x1＜x2＜1,∴1+x1x2＞0,x2－x1＞0,∴f(x1)－f(x2)＞0.即f(x1)＞f(x2).故此函数在(-1,1)上是减函数.二、
8、函数单调性的判定及证明例3.设为奇函数,且定义域为R.(1)求b的值；(2)判断函数f(x)的单调性；(3)若对于任意t∈R,不等式恒成立，求实数k的取值范围．解:(1)由f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),整理,得证明:(2)任取x1,x2,且x1
