高考数学一轮复习 2.3 函数的单调性与最值教案 新课标

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1、3.函数的单调性与最值一、知识梳理：1、函数的单调性（1）函数的单调区间必须在定义域内。分别在两个区间上单调用“和”连接而不能用并.如：求函数的单调区间。（2）定义：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；（3）函数单调性的证明、判断和求单调区间：定义法,导数法。定义法：对任意的，，判断的符号，两法因式分解和配方法，以说明之（4）初等函数的单调性：一次函数，反比例函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，

2、三角函数等函数的单调区间。具体说明。（5）设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。如求函数的单调递增区间为，单调递减区间为。（6）简单性质：①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。2、函数的最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，

3、称M是函数y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。其意义2点：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）求最值方法：函数单调性法（包括导数法）、基本不等式法；二、典例讨论：1、基本初等复合函数的单调区间例1.求下列函数的单调区间，并确定每一单调区间上的单调性.解：（1）图象法:

4、递增区间：和，递减区间：和（2）初等复合函数法:递增区间：，递减区间：（3）递增区间：，递减区间：例2、已知讨论函数的单调性。解：的定义域为，且，为奇函数。所以只需讨论在上的单调性，任取且，则因为，因为为增函数，所以即，所以在上递减，因为为奇函数，所以在上也递减点评：对数函数的单调性讨论的处理。讨论练习1：判断函数(≠0)在区间(－1，1)上的单调性。解：设,则－＝,∵,,,,∴>0,∴当时,,函数在(－1,1)上为减函数，当时,,函数在(－1,1)上为增函数.方法二、导数法：∴当时,,函数在(－1,1)上为减函数，当时,,函数在(－1,1)上为增函数.点评：解单调性大题

5、时只有两种合法方法：定义法和导数法。XYO例3、函数的图象如图所示：则的单调减区间是（）解：令，则在和上为递增，所以在和由复合函数的单调性规则知，为递减，故选C例4、（1）已知是R上的减函数，那么的取值范围是（）解：在递减，，时。故选C（2）函数在上的最大值与最小值的和为，则.解：无论和，与同增减，所以最大值与最小值的和一定是4、单调性的应用例5、已知函数是定义在R上的偶函数，且在上是增函数，令，则（）解：，所以，，故选A5、综合问题例6、定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.（1）

6、求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值范围.解：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）.又f（0）≠0，∴f（0）=1.（2）证明：当x＜0时，－x＞0，∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.∴f（－x）=＞0.又x≥0时f（x）≥1＞0，∴x∈R时，恒有f（x）＞0.（3）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0.∴f（x2）=f（x2－x1+x1）=f（x2－x1）·f（x1）.∵x2－x1＞0，∴f（x2－x1）＞1.又f（x1）＞0，∴f（x2－

7、x1）·f（x1）＞f（x1）.∴f（x2）＞f（x1）.∴f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）·f（2x－x2）＞1，f（0）=1得f（3x－x2）＞f（0）.又f（x）是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.评述：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f［（x2－x1）+x1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略.三、课堂小结：四、课后作业：1.讨论函数f（x）=x+（a＞0）的单调性.解方法一显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，设x1＞